Упр.16.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Исследуйте данную функцию на монотонность.
а) $$y=2\ln(x^3)-5x+\frac{x^2}{2}$$;
б) $$y=e^{x^2-2x+1}$$;
в) $$y=\ln(x^2-2x-3)$$;
г) $$y=\frac{\lg\left(\frac{1}{x^3}\right)}{\lg(e)}+x^2+x+3$$;
д) $$y=2^{x^3-x^2-x+1}$$;
е) $$y=\ln(3+2x-x^2)$$.
а) $$y=2\ln(x^3)-5x+\frac{x^2}{2}.$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’ = 2\cdot \frac{3x^2}{x^3}-5+x = \frac{6}{x}-5+x.$$
Исследуем знак производной:
$$\frac{6}{x}-5+x \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-5x+6 \ge 0.$$
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
С учётом $$x>0$$ получаем:
$$\frac{(x-2)(x-3)}{x}\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in(0;2]\cup[3;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$(0;2]$$ и $$[3;+\infty)$$, убывает на $$[2;3].$$
б) $$y=e^{x^2-2x+1}.$$
$$y’=(2x-2)e^{x^2-2x+1}.$$
Так как $$e^{x^2-2x+1}>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется множителем $$2x-2.$$
$$2x-2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;1].$$
в) $$y=\ln(x^2-2x-3).$$
Область определения:
$$x^2-2x-3>0 \;\Longleftrightarrow\; (x-3)(x+1)>0,$$
откуда $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{2x-2}{x^2-2x-3}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак $$y’$$ определяется числителем:
$$2x-2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge 1.$$
С учётом области определения получаем: функция возрастает на $$(3;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1).$$
г) $$y=\frac{\lg\left(\frac{1}{x^3}\right)}{\lg e}+x^2+x+3.$$
Так как $$\frac{\lg a}{\lg e}=\ln a,$$ то
$$y=\ln\left(\frac{1}{x^3}\right)+x^2+x+3=-\ln(x^3)+x^2+x+3.$$
Область определения: $$x>0.$$
Производная:
$$y’=-\frac{3x^2}{x^3}+2x+1=-\frac{3}{x}+2x+1.$$
Исследуем знак:
$$-\frac{3}{x}+2x+1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 2x^2+x-3\ge 0.$$
$$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1).$$
С учётом $$x>0$$ получаем $$x\ge 1.$$
Значит, функция возрастает на $$[1;+\infty)$$ и убывает на $$(0;1].$$
д) $$y=2^{x^3-x^2-x+1}.$$
$$y’=(3x^2-2x-1)\cdot 2^{x^3-x^2-x+1}\ln 2.$$
Так как $$2^{x^3-x^2-x+1}\ln 2>0,$$ знак производной определяется выражением $$3x^2-2x-1.$$
$$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1).$$
Тогда
$$y’\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le -\frac13 \;\text{ или }\; x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac13]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-\frac13;1].$$
е) $$y=\ln(3+2x-x^2).$$
Область определения:
$$3+2x-x^2>0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-2x-3<0 \;\Longleftrightarrow\; (x+1)(x-3)<0,$$
откуда $$x\in(-1;3).$$
Производная:
$$y’=\frac{2-2x}{3+2x-x^2}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому
$$y’\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 2-2x\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-1;1]$$ и убывает на $$[1;3).$$
Ответ
а) возрастает на $$(0;2]$$ и $$[3;+\infty)$$, убывает на $$[2;3]$$;
б) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;1]$$;
в) возрастает на $$(3;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$;
г) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(0;1]$$;
д) возрастает на $$(-\infty;-\frac13]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-\frac13;1]$$;
е) возрастает на $$(-1;1]$$, убывает на $$[1;3).$$
