Упр.16.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Исследуйте данную функцию на монотонность:

а) $$y=\sin(x)+\cos(x)+vx+5x$$;

б) $$y=\sin(3x)-\cos(2x)-2x^{2/3}-6e^x$$;

в) $$y=2\cos(x)-\sin(x)-x^{1/5}-4x$$;

г) $$y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)+x^{1/4}+2e^{2x}$$.
Решите уравнение:

а) $$x x^{1/4}=2-x x^{1/6}$$;

г) $$4x^{4/5}=5-x x^{1/3}$$;

б) $$0{,}5x^{1/3}=(x-7)^{-0{,}3}$$;

д) $$0{,}5x^{1/5}=(x-31)^{-1{,}3}$$;

в) $$\frac{1}{x^{1/5}}=\frac{x^{2/3}}{7}+\frac{6}{7}$$;

е) $$x^{5/7}=\frac{3}{5x^{2/3}}+0{,}4$$.

Подробный ответ

Исследуем функции на монотонность.

$$y=\sin x+\cos x+\sqrt{x}+5x$$
$$y’=\cos x-\sin x+\frac{1}{2\sqrt{x}}+5$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$\cos x-\sin x\ge -2$$, а также $$\frac{1}{2\sqrt{x}}+5>0$$. Значит, $$y’>0$$ на области определения.
Следовательно, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=\sin 3x-\cos 2x-2x^{2/3}-6e^x$$
$$y’=3\cos 3x+2\sin 2x-\frac{4}{3x^{1/3}}-6e^x$$
При $$x>0$$ имеем $$3\cos 3x+2\sin 2x\le 5$$, а $$-\frac{4}{3x^{1/3}}-6e^x<0$$. Поэтому $$y'<0$$ на области определения.
Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=2\cos x-\sin x-x^{1/5}-4x$$
$$y’=-2\sin x-\cos x-\frac{1}{5x^{4/5}}-4$$
При $$x>0$$ имеем $$-2\sin x-\cos x\le 3$$, а остальные слагаемые отрицательны. Значит, $$y'<0$$ на области определения.
Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sqrt[4]{x}+2e^{2x}$$
$$y’=-\frac12\sin\frac{x}{2}-\frac12\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{4x^{3/4}}+4e^{2x}$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$-\frac12\sin\frac{x}{2}-\frac12\cos\frac{x}{2}\ge -1$$, а $$\frac{1}{4x^{3/4}}+4e^{2x}>0$$. Следовательно, $$y’>0$$ на области определения.
Значит, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.

Решим уравнения.

$$x\sqrt[4]{x}=2-x\sqrt[6]{x}$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x\sqrt[4]{x}$$ и $$g(x)=2-x\sqrt[6]{x}$$. Первая возрастает, вторая убывает на области определения, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$1\cdot \sqrt[4]{1}=1,\qquad 2-1\cdot \sqrt[6]{1}=1$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$0{,}5\sqrt[3]{x}=(x-7)^{-0{,}3}$$
Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[3]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-7)^{-0{,}3}$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=8$$:
$$0{,}5\sqrt[3]{8}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (8-7)^{-0{,}3}=1^{-0{,}3}=1$$
Следовательно, $$x=8$$.
$$\frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$
Функция $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$$ убывает на области определения, а $$g(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$\frac{1}{\sqrt[5]{1}}=1,\qquad \frac{\sqrt[3]{1^2}}{7}+\frac{6}{7}=1$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$4\sqrt[4]{x^5}=5-x\sqrt[3]{x}$$
Функция $$f(x)=4\sqrt[4]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=5-x\sqrt[3]{x}$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$4\sqrt[4]{1^5}=4,\qquad 5-1\cdot \sqrt[3]{1}=4$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$0{,}5\sqrt[5]{x}=(x-31)^{-1{,}3}$$
Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[5]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-31)^{-1{,}3}$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=32$$:
$$0{,}5\sqrt[5]{32}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (32-31)^{-1{,}3}=1^{-1{,}3}=1$$
Следовательно, $$x=32$$.
$$\sqrt[7]{x^5}=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$
Функция $$f(x)=\sqrt[7]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$\sqrt[7]{1^5}=1,\qquad \frac{3}{5\sqrt[3]{1^2}}+0{,}4=\frac{3}{5}+0{,}4=1$$
Следовательно, $$x=1$$.