Упр.16.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=sin(x)+cos(x)+vx+5x;
б) y=sin(3x)-cos(2x)-2x^(2/3)-6e^x;
в) y=2cos(x)-sin(x)-x^(1/5)-4x;
г) y=cos(x/2)-sin(x/2)+x^(1/4)+2e^(2x). Решите уравнение:
а) x x^(1/4)=2-x x^(1/6); г) 4x^(4/5)=5-x x^(1/3);
б) 0,5x^(1/3)=(x-7)^(-0,3); д) 0,5x^(1/5)=(x-31)^(-1,3);
в) 1/x^(1/5)=x^(2/3) /7+6/7; е) x^(5/7)=3/(5x^(2/3))+0,4.

Подробный ответ

Исследуем функции на монотонность.

$$y=\sin x+\cos x+\sqrt{x}+5x$$
$$y’=\cos x-\sin x+\frac{1}{2\sqrt{x}}+5$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$\cos x-\sin x\ge -2$$, а также $$\frac{1}{2\sqrt{x}}+5>0$$. Значит, $$y’>0$$ на области определения.
Следовательно, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=\sin 3x-\cos 2x-2x^{2/3}-6e^x$$
$$y’=3\cos 3x+2\sin 2x-\frac{4}{3x^{1/3}}-6e^x$$
При $$x>0$$ имеем $$3\cos 3x+2\sin 2x\le 5$$, а $$-\frac{4}{3x^{1/3}}-6e^x<0$$. Поэтому $$y'<0$$ на области определения.
Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=2\cos x-\sin x-x^{1/5}-4x$$
$$y’=-2\sin x-\cos x-\frac{1}{5x^{4/5}}-4$$
При $$x>0$$ имеем $$-2\sin x-\cos x\le 3$$, а остальные слагаемые отрицательны. Значит, $$y'<0$$ на области определения.
Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sqrt[4]{x}+2e^{2x}$$
$$y’=-\frac12\sin\frac{x}{2}-\frac12\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{4x^{3/4}}+4e^{2x}$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$-\frac12\sin\frac{x}{2}-\frac12\cos\frac{x}{2}\ge -1$$, а $$\frac{1}{4x^{3/4}}+4e^{2x}>0$$. Следовательно, $$y’>0$$ на области определения.
Значит, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.

Решим уравнения.

$$x\sqrt[4]{x}=2-x\sqrt[6]{x}$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x\sqrt[4]{x}$$ и $$g(x)=2-x\sqrt[6]{x}$$. Первая возрастает, вторая убывает на области определения, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$1\cdot \sqrt[4]{1}=1,\qquad 2-1\cdot \sqrt[6]{1}=1$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$0{,}5\sqrt[3]{x}=(x-7)^{-0{,}3}$$
Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[3]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-7)^{-0{,}3}$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=8$$:
$$0{,}5\sqrt[3]{8}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (8-7)^{-0{,}3}=1^{-0{,}3}=1$$
Следовательно, $$x=8$$.
$$\frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$
Функция $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$$ убывает на области определения, а $$g(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$\frac{1}{\sqrt[5]{1}}=1,\qquad \frac{\sqrt[3]{1^2}}{7}+\frac{6}{7}=1$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$4\sqrt[4]{x^5}=5-x\sqrt[3]{x}$$
Функция $$f(x)=4\sqrt[4]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=5-x\sqrt[3]{x}$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$4\sqrt[4]{1^5}=4,\qquad 5-1\cdot \sqrt[3]{1}=4$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$0{,}5\sqrt[5]{x}=(x-31)^{-1{,}3}$$
Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[5]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-31)^{-1{,}3}$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=32$$:
$$0{,}5\sqrt[5]{32}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (32-31)^{-1{,}3}=1^{-1{,}3}=1$$
Следовательно, $$x=32$$.
$$\sqrt[7]{x^5}=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$
Функция $$f(x)=\sqrt[7]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$ убывает на области определения. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$\sqrt[7]{1^5}=1,\qquad \frac{3}{5\sqrt[3]{1^2}}+0{,}4=\frac{3}{5}+0{,}4=1$$
Следовательно, $$x=1$$.