Упр.16.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Исследуем на монотонность.

   а) $$y=\frac{x}{\ln x}$$

   $$y’=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$$
   $$y’ \ge 0 \iff \ln x-1 \ge 0 \iff x \ge e$$

   С учётом области определения $$x>0,\ x\ne 1$$ получаем: функция возрастает на $$[e;+\infty)$$, убывает на $$(0;1)\cup(1;e].$$

   б) $$y=\frac{x^3}{e^x}$$

   $$y’=\frac{3x^2e^x-x^3e^x}{e^{2x}}=\frac{x^2e^x(3-x)}{e^{2x}}$$
   $$y’ \ge 0 \iff 3-x \ge 0 \iff x \le 3$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;3]$$, убывает на $$[3;+\infty).$$

   в) $$y=\sqrt{x+6}+\ln(2-x)$$

   Область определения: $$x\ge -6,\ x<2.$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{2-x}$$
   $$y’ \ge 0 \iff \frac{x-2+2\sqrt{x+6}}{2(x-2)\sqrt{x+6}} \ge 0$$

   После преобразований получаем: функция возрастает на $$[-6;-2]$$, убывает на $$[-2;2).$$

   г) $$y=\frac{\ln x}{x}$$

   $$y’=\frac{1-\ln x}{x^2}$$
   $$y’ \ge 0 \iff 1-\ln x \ge 0 \iff x \le e$$

   С учётом $$x>0$$: функция возрастает на $$(0;e]$$, убывает на $$[e;+\infty).$$

   д) $$y=\frac{2^x}{x^2}$$

   $$y’=\frac{2^x\ln 2\cdot x^2-2^x\cdot 2x}{x^4} =\frac{2^x(\ln 2\cdot x-2)}{x^3}$$

   Отсюда: функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup\left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(0;\frac{2}{\ln 2}\right].$$

   е) $$y=\sqrt{x+3}+\ln(5-x)$$

   Область определения: $$x\ge -3,\ x<5.$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}-\frac{1}{5-x}$$
   $$y’ \ge 0 \iff x^2-14x+13 \ge 0$$
   $$x^2-14x+13=(x-1)(x-13)$$

   С учётом области определения: функция возрастает на $$[-3;1]$$, убывает на $$[1;5).$$

2. Найдём множество значений функции.

   а) $$y=5\sin^2x+\cos 2x$$

   $$\cos 2x=2\cos^2x-1$$
   $$y=5\sin^2x+2\cos^2x-1=1+3\sin^2x$$

   $$0\le \sin^2x\le 1 \Rightarrow 1\le y\le 4$$

   $$E(y)=[1;4].$$

   б) $$y=2\cos 2x-3\cos x$$

   $$y=2(2\cos^2x-1)-3\cos x=4\cos^2x-3\cos x-2$$

   Пусть $$t=\cos x,\ -1\le t\le 1$$. Тогда $$y=4t^2-3t-2$$.

   $$y(-1)=5,\quad y(1)=-1,\quad y\left(\frac{3}{8}\right)=-\frac{41}{16}$$

   $$E(y)=\left[-\frac{41}{16};5\right].$$

   в) $$y=\sin x+\cos x$$

   $$y=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right) =\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1$$

   $$E(y)=[-\sqrt2;\sqrt2].$$

   г) $$y=2\cos 2x-7\sin^2x$$

   $$y=2(2\cos^2x-1)-7\sin^2x=2-11\sin^2x$$

   $$0\le \sin^2x\le 1 \Rightarrow -9\le y\le 2$$

   $$E(y)=[-9;2].$$

   д) $$y=3\sin x+4\cos^2x$$

   $$y=3\sin x+4-4\sin^2x$$

   Пусть $$t=\sin x,\ -1\le t\le 1$$. Тогда $$y=-4t^2+3t+4$$.

   $$y(-1)=-3,\quad y(1)=3,\quad y\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{73}{16}$$

   $$E(y)=\left[-3;\frac{73}{16}\right].$$

   е) $$y=\sin x-\cos x$$

   $$y=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right) =\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1$$

   $$E(y)=[-\sqrt2;\sqrt2].$$

Ответ

Монотонность: а) возрастает на $$[e;+\infty)$$, убывает на $$(0;1)\cup(1;e]$$; б) возрастает на $$(-\infty;3]$$, убывает на $$[3;+\infty)$$; в) возрастает на $$[-6;-2]$$, убывает на $$[-2;2)$$; г) возрастает на $$(0;e]$$, убывает на $$[e;+\infty)$$; д) возрастает на $$(-\infty;0)\cup\left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(0;\frac{2}{\ln 2}\right]$$; е) возрастает на $$[-3;1]$$, убывает на $$[1;5).$$

Множество значений: а) $$[1;4]$$; б) $$\left[-\frac{41}{16};5\right]$$; в) $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$; г) $$[-9;2]$$; д) $$\left[-3;\frac{73}{16}\right]$$; е) $$[-\sqrt2;\sqrt2].$$