Упр.16.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) $$y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-12x+2$$;
б) $$y=x^4-\frac{8}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-14$$;
в) $$y=5\frac{1}{3}x^3-9x+25$$;
г) $$y=x^3+2x^2-4x+18$$;
д) $$y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-3x^2-17$$;
е) $$y=\frac{1}{5}x^5-3\frac{1}{3}x^3+9x-21$$.
Задание учебника 2022 года. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) $$y=x^4-x^2-2\ln(x)$$;
б) $$y=x^4-3x^2+2\ln(x)$$.
а) $$y=\frac13x^3+\frac12x^2-12x+2$$
Найдём производную:
$$y'(x)=x^2+x-12=(x+4)(x-3).$$
Критические точки: $$x=-4,\; x=3.$$
Знак производной:
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty),$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x\in(-4;3).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-4;3].$$
б) $$y=x^4-\frac83x^3+\frac32x^2-14$$
$$y'(x)=4x^3-8x^2+3x=x(4x^2-8x+3)=x(2x-1)(2x-3).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=\frac12,\; x=\frac32.$$
По знакам множителей:
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in\left(0;\frac12\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right),$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac12;\frac32\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac12\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac12;\frac32\right].$$
в) $$y=5x^5+\frac53x^3-9x+25$$
$$y'(x)=25x^4+5x^2-9.$$
Положим $$t=x^2\ge 0.$$ Тогда
$$25t^2+5t-9=0.$$
$$D=5^2-4\cdot25\cdot(-9)=925=25\cdot37,$$
$$t_{1,2}=\frac{-5\pm5\sqrt{37}}{50}=\frac{-1\pm\sqrt{37}}{10}.$$
Из них подходит только
$$t_0=\frac{\sqrt{37}-1}{10}.$$
Тогда
$$x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}}.$$
Так как коэффициент при $$x^4$$ положителен, то
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;-\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}}\right)\cup\left(\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}};+\infty\right),$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x\in\left(-\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}};\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}}\right).$$
Значит, функция возрастает на $$\left(-\infty;-\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}}\right]\cup\left[\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}};+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}};\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}}\right].$$
г) $$y=x^3+2x^2-4x+18$$
$$y'(x)=3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\; x=\frac23.$$
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac23;+\infty\right),$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x\in\left(-2;\frac23\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac23;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-2;\frac23\right].$$
д) $$y=\frac14x^4+\frac13x^3-3x^2-17$$
$$y'(x)=x^3+x^2-6x=x(x^2+x-6)=x(x+3)(x-2).$$
Критические точки: $$x=-3,\; x=0,\; x=2.$$
По знакам множителей:
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in(-3;0)\cup(2;+\infty),$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(0;2).$$
Значит, функция возрастает на $$[-3;0]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;2].$$
е) $$y=\frac15x^5-\frac13x^3+9x-21$$
$$y'(x)=x^4-x^2+9.$$
Положим $$t=x^2\ge 0.$$ Тогда
$$t^2-t+9=0.$$
$$D=1-36=-35<0.$$
Следовательно, $$y'(x)>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
Значит, функция возрастает на всей числовой прямой:
$$(-\infty;+\infty).$$
а) $$y=x^4-x^2-2\ln x$$, $$x>0$$
$$y'(x)=4x^3-2x-\frac2x.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$y'(x)=\frac{4x^4-2x^2-2}{x}=\frac{2(2x^4-x^2-1)}{x}.$$
Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем:
$$2x^4-x^2-1=0.$$
Положим $$t=x^2\ge 0.$$ Тогда
$$2t^2-t-1=0,$$
$$t_1=1,\quad t_2=-\frac12.$$
Подходит только $$t=1,$$ значит $$x=1.$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x\in(0;1),\qquad y'(x)>0 \text{ при } x\in(1;+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(0;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y_{\min}=1-1-2\ln 1=0.$$
б) $$y=x^4-3x^2+2\ln x$$, $$x>0$$
$$y'(x)=4x^3-6x+\frac2x.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$y'(x)=\frac{4x^4-6x^2+2}{x}=\frac{2(2x^4-3x^2+1)}{x}.$$
Так как $$x>0,$$ исследуем числитель:
$$2x^4-3x^2+1=0.$$
Положим $$t=x^2\ge 0.$$ Тогда
$$2t^2-3t+1=0,$$
$$t_1=\frac12,\quad t_2=1.$$
Значит,
$$x=\frac{\sqrt2}{2},\quad x=1.$$
Поскольку старший коэффициент положителен, то
$$y'(x)>0 \text{ при } x\in\left(0;\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup(1;+\infty),$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\sqrt2}{2};1\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;\frac{\sqrt2}{2}\right]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$\left[\frac{\sqrt2}{2};1\right].$$
В точке $$x=1$$ достигается минимум, а в точке $$x=\frac{\sqrt2}{2}$$ — максимум.
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-4;3]$$;
б) возрастает на $$\left[0;\frac12\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac12;\frac32\right]$$;
в) возрастает на $$\left(-\infty;-\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}}\right]\cup\left[\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}};+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}};\sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{10}}\right]$$;
г) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac23;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-2;\frac23\right]$$;
д) возрастает на $$[-3;0]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;2]$$;
е) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
а) $$x\in(0;1]$$ — убывает, $$x\in[1;+\infty)$$ — возрастает, $$y_{\min}=0$$;
б) $$x\in\left(0;\frac{\sqrt2}{2}\right]\cup[1;+\infty)$$ — возрастает, $$x\in\left[\frac{\sqrt2}{2};1\right]$$ — убывает, $$x_{\max}=\frac{\sqrt2}{2},\; x_{\min}=1$$.
