Упр.16.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) $$y=2^x+\ln(x)$$;
б) $$y=2x^2-\ln(x)$$;
в) $$y=3^x+x^{17}$$;
г) $$y=x-\ln(x+1)$$. - Задание учебника 2022 года. Вычислите значение выражения при заданном условии:
а) $$\frac{2}{1+\sin(2t)}$$, при $$\operatorname{ctg}(t)=2$$;
б) $$\operatorname{tg}^2(t)+\operatorname{ctg}^2(t)$$, при $$\operatorname{tg}(t)-\operatorname{ctg}(t)=4$$;
в) $$\sin^3(t)+\cos^3(t)$$, при $$\sin(t)+\cos(t)=0{,}9$$;
г) $$\frac{3}{3+2\cos(2t)}$$, при $$\operatorname{tg}(t)=0{,}5$$;
д) $$\operatorname{tg}^2(t)+\operatorname{ctg}^2(t)$$, при $$\operatorname{tg}(t)+\operatorname{ctg}(t)=5$$;
е) $$\sin^3(t)-\cos^3(t)$$, при $$\sin(t)-\cos(t)=-0{,}2$$.
Исследуем на монотонность.
а) $$y=2^x+\ln x$$
Область определения: $$x>0$$.
$$y'(x)=2^x\ln 2+\frac1x.$$
При $$x>0$$ имеем $$2^x\ln 2>0$$ и $$\frac1x>0$$, значит $$y'(x)>0$$ на всей области определения.
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
б) $$y=2x^2-\ln x$$
Область определения: $$x>0$$.
$$y'(x)=4x-\frac1x=\frac{4x^2-1}{x}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}.$$
Так как $$x>0$$, знак производной определяется числителем. На области определения:
$$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<\frac12,$$
$$y'(x)>0 \text{ при } x>\frac12.$$
Значит, функция убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right).$$
в) $$y=3^x+x^{17}$$
$$y'(x)=3^x\ln 3+17x^{16}.$$
Оба слагаемых неотрицательны, причём $$3^x\ln 3>0$$ при любом $$x$$, значит $$y'(x)>0$$ для всех $$x\in\mathbb R$$.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
г) $$y=x-\ln(x+1)$$
Область определения: $$x>-1$$.
$$y'(x)=1-\frac1{x+1}=\frac{x}{x+1}.$$
На области определения:
$$y'(x)<0 \text{ при } -1<x<0,$$
$$y'(x)>0 \text{ при } x>0.$$
Значит, функция убывает на $$(-1;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
Вычислим значения выражений.
а) $$\frac{2}{1+\sin 2t}, \quad \ctg t=2$$
$$\sin 2t=2\sin t\cos t=\frac{2}{1+\ctg^2 t}.$$
Тогда
$$\sin 2t=\frac{2}{1+4}=\frac25,$$
$$\frac{2}{1+\sin 2t}=\frac{2}{1+\frac25}=\frac{2}{\frac75}=\frac{10}{7}.$$
б) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t-\ctg t=4$$
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t-\ctg t)^2+2.$$
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=4^2+2=18.$$
в) $$\sin^3 t+\cos^3 t, \quad \sin t+\cos t=0{,}9$$
Сначала найдём произведение:
$$\sin t\cos t=\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{2}=\frac{0{,}9^2-1}{2}=\frac{0{,}81-1}{2}=-0{,}095.$$
Тогда
$$\sin^3 t+\cos^3 t=(\sin t+\cos t)\bigl(\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$
$$\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t=1-(-0{,}095)=1{,}095.$$
$$\sin^3 t+\cos^3 t=0{,}9\cdot 1{,}095=0{,}9855.$$
г) $$\frac{3}{3+2\cos 2t}, \quad \tg t=0{,}5$$
$$\cos 2t=\frac{1-\tg^2 t}{1+\tg^2 t}=\frac{1-0{,}25}{1+0{,}25}=\frac{3}{5}.$$
Тогда
$$\frac{3}{3+2\cos 2t}=\frac{3}{3+2\cdot\frac35}=\frac{3}{\frac{21}{5}}=\frac57.$$
д) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t+\ctg t=5$$
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t+\ctg t)^2-2.$$
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=5^2-2=23.$$
е) $$\sin^3 t-\cos^3 t, \quad \sin t-\cos t=-0{,}2$$
Найдём произведение:
$$\sin t\cos t=\frac{1-(\sin t-\cos t)^2}{2}=\frac{1-0{,}04}{2}=0{,}48.$$
Тогда
$$\sin^3 t-\cos^3 t=(\sin t-\cos t)\bigl(\sin^2 t+\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$
$$\sin^2 t+\sin t\cos t+\cos^2 t=1+0{,}48=1{,}48.$$
$$\sin^3 t-\cos^3 t=-0{,}2\cdot 1{,}48=-0{,}296.$$
Ответ
а) возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$; б) убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$, возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right)$$; в) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; г) убывает на $$(-1;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$.
а) $$\frac{10}{7}$$; б) $$18$$; в) $$0{,}9855$$; г) $$\frac57$$; д) $$23$$; е) $$-0{,}296$$.
