Упр.16.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=2^x+ln(x); в) y=3^x+x^17;
б) y=2x^2-ln(x); г) y=x-ln(x+1). Вычислите значение выражения при заданном условии:
а) 2/(1+sin(2t)), при ctg(t)=2;
б) tg^2(t)+ctg^2(t), при tg(t)-ctg(t)=4;
в) sin^3(t)+cos^3(t), при sin(t)+cos(t)=0,9;
г) 3/(3+2cos(2t)), при tg(t)=0,5;
д) tg^2(t)+ctg^2(t), при tg(t)+ctg(t)=5;
е) sin^3(t)-cos^3(t), при sin(t)-cos(t)=-0,2.

1. Исследуем на монотонность.

   а) $$y=2^x+\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$.

   $$y'(x)=2^x\ln 2+\frac1x.$$

   При $$x>0$$ имеем $$2^x\ln 2>0$$ и $$\frac1x>0$$, значит $$y'(x)>0$$ на всей области определения.

   Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$

   б) $$y=2x^2-\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$.

   $$y'(x)=4x-\frac1x=\frac{4x^2-1}{x}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}.$$

   Так как $$x>0$$, знак производной определяется числителем. На области определения:

   $$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<\frac12,$$

   $$y'(x)>0 \text{ при } x>\frac12.$$

   Значит, функция убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right).$$

   в) $$y=3^x+x^{17}$$

   $$y'(x)=3^x\ln 3+17x^{16}.$$

   Оба слагаемых неотрицательны, причём $$3^x\ln 3>0$$ при любом $$x$$, значит $$y'(x)>0$$ для всех $$x\in\mathbb R$$.

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$

   г) $$y=x-\ln(x+1)$$

   Область определения: $$x>-1$$.

   $$y'(x)=1-\frac1{x+1}=\frac{x}{x+1}.$$

   На области определения:

   $$y'(x)<0 \text{ при } -1<x<0,$$

   $$y'(x)>0 \text{ при } x>0.$$

   Значит, функция убывает на $$(-1;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

2. Вычислим значения выражений.

   а) $$\frac{2}{1+\sin 2t}, \quad \ctg t=2$$

   $$\sin 2t=2\sin t\cos t=\frac{2}{1+\ctg^2 t}.$$

   Тогда

   $$\sin 2t=\frac{2}{1+4}=\frac25,$$

   $$\frac{2}{1+\sin 2t}=\frac{2}{1+\frac25}=\frac{2}{\frac75}=\frac{10}{7}.$$

   б) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t-\ctg t=4$$

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t-\ctg t)^2+2.$$

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=4^2+2=18.$$

   в) $$\sin^3 t+\cos^3 t, \quad \sin t+\cos t=0{,}9$$

   Сначала найдём произведение:

   $$\sin t\cos t=\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{2}=\frac{0{,}9^2-1}{2}=\frac{0{,}81-1}{2}=-0{,}095.$$

   Тогда

   $$\sin^3 t+\cos^3 t=(\sin t+\cos t)\bigl(\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$

   $$\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t=1-(-0{,}095)=1{,}095.$$

   $$\sin^3 t+\cos^3 t=0{,}9\cdot 1{,}095=0{,}9855.$$

   г) $$\frac{3}{3+2\cos 2t}, \quad \tg t=0{,}5$$

   $$\cos 2t=\frac{1-\tg^2 t}{1+\tg^2 t}=\frac{1-0{,}25}{1+0{,}25}=\frac{3}{5}.$$

   Тогда

   $$\frac{3}{3+2\cos 2t}=\frac{3}{3+2\cdot\frac35}=\frac{3}{\frac{21}{5}}=\frac57.$$

   д) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t+\ctg t=5$$

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t+\ctg t)^2-2.$$

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=5^2-2=23.$$

   е) $$\sin^3 t-\cos^3 t, \quad \sin t-\cos t=-0{,}2$$

   Найдём произведение:

   $$\sin t\cos t=\frac{1-(\sin t-\cos t)^2}{2}=\frac{1-0{,}04}{2}=0{,}48.$$

   Тогда

   $$\sin^3 t-\cos^3 t=(\sin t-\cos t)\bigl(\sin^2 t+\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$

   $$\sin^2 t+\sin t\cos t+\cos^2 t=1+0{,}48=1{,}48.$$

   $$\sin^3 t-\cos^3 t=-0{,}2\cdot 1{,}48=-0{,}296.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$; б) убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$, возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right)$$; в) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; г) убывает на $$(-1;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$.

а) $$\frac{10}{7}$$; б) $$18$$; в) $$0{,}9855$$; г) $$\frac57$$; д) $$23$$; е) $$-0{,}296$$.