Упр.16.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Исследуйте данную функцию на монотонность: а) $$y=\sqrt{2x+1}$$; в) $$y=\sqrt{3-2x}$$; б) $$y=\sqrt{2-x}+2x$$; г) $$y=\sqrt{3-x}+3x$$.
2. Задание учебника 2022 года. Построите график функции: а) $$y=\sin(2|x|)$$; в) $$y=|3\sin(x)|$$; д) $$y=3\sin|x|$$; б) $$y=2\cos|x|$$; г) $$y=\cos\left(\frac{|x|}{2}\right)$$; е) $$y=\frac{1}{2}|\cos(x)|$$.

1. Исследуем на монотонность.

1. $$y=\sqrt{2x+1}$$

   $$y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}>0$$

   Область определения: $$2x+1\ge 0,\; x\ge -\frac12.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac12;+\infty\right).$$

2. $$y=\sqrt{2-x}+2x$$

   $$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+2$$

   Найдём, где производная неотрицательна:

   $$-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+2\ge 0$$

   $$4\sqrt{2-x}\ge 1$$

   $$\sqrt{2-x}\ge \frac14$$

   $$2-x\ge \frac{1}{16}$$

   $$x\le \frac{31}{16}.$$

   С учётом области определения $$x\le 2$$ получаем:

   функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{31}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{31}{16};2\right].$$

3. $$y=\sqrt{3-2x}$$

   $$y'(x)=-\frac{2}{2\sqrt{3-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{3-2x}}<0$$

   Область определения: $$3-2x\ge 0,\; x\le \frac32.$$

   Следовательно, функция убывает на $$\left(-\infty;\frac32\right].$$

4. $$y=\sqrt{3-x}+3x$$

   $$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}+3$$

   Найдём, где производная неотрицательна:

   $$-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}+3\ge 0$$

   $$6\sqrt{3-x}\ge 1$$

   $$\sqrt{3-x}\ge \frac16$$

   $$3-x\ge \frac{1}{36}$$

   $$x\le \frac{107}{36}.$$

   С учётом области определения $$x\le 3$$ получаем:

   функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{107}{36}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{107}{36};3\right].$$

2. Построим графики.

1. $$y=\sin(2|x|)$$

   Функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси $$Oy$$. При $$x\ge 0$$ имеем $$y=\sin 2x$$, а при $$x<0$$ — отражение этой части относительно оси $$Oy$$.

2. $$y=2\cos|x|$$

   Так как $$\cos|x|=\cos x$$, то график совпадает с графиком функции $$y=2\cos x$$.

3. $$y=|3\sin x|$$

   Это график функции $$y=3\sin x$$, у которого все отрицательные значения отражены вверх относительно оси $$Ox$$.

4. $$y=\cos\frac{|x|}{2}$$

   Функция чётная. При $$x\ge 0$$ это график $$y=\cos\frac{x}{2}$$, а при $$x<0$$ — его зеркальное отражение относительно оси $$Oy$$.

5. $$y=3\sin|x|$$

   Функция чётная. При $$x\ge 0$$ строится график $$y=3\sin x$$, затем он отражается относительно оси $$Oy$$.

6. $$y=\frac12|\cos x|$$

   Это график функции $$y=\frac12\cos x$$, у которого все отрицательные участки отражены вверх относительно оси $$Ox$$.

Ответ

а) возрастает на $$\left[-\frac12;+\infty\right)$$;
б) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{31}{16}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{31}{16};2\right]$$;
в) убывает на $$\left(-\infty;\frac32\right]$$;
г) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{107}{36}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{107}{36};3\right]$$.