Упр.16.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=v(2x+1); в) y=v(3-2x);
б) y=v(2-x)+2x; г) y=v(3-x)+3x. Построите график функции:
а) y=sin(2|x|); в) y=|3sin(x)|; д) y=3sin|x|;
б) y=2cos|x|; г) y=cos(|x|/2); е) y=(1/2)|cos(x)|.
1. Исследуем на монотонность.
$$y=\sqrt{2x+1}$$
$$y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}>0$$
Область определения: $$2x+1\ge 0,\; x\ge -\frac12.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac12;+\infty\right).$$
$$y=\sqrt{2-x}+2x$$
$$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+2$$
Найдём, где производная неотрицательна:
$$-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+2\ge 0$$
$$4\sqrt{2-x}\ge 1$$
$$\sqrt{2-x}\ge \frac14$$
$$2-x\ge \frac{1}{16}$$
$$x\le \frac{31}{16}.$$
С учётом области определения $$x\le 2$$ получаем:
функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{31}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{31}{16};2\right].$$
$$y=\sqrt{3-2x}$$
$$y'(x)=-\frac{2}{2\sqrt{3-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{3-2x}}<0$$
Область определения: $$3-2x\ge 0,\; x\le \frac32.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(-\infty;\frac32\right].$$
$$y=\sqrt{3-x}+3x$$
$$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}+3$$
Найдём, где производная неотрицательна:
$$-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}+3\ge 0$$
$$6\sqrt{3-x}\ge 1$$
$$\sqrt{3-x}\ge \frac16$$
$$3-x\ge \frac{1}{36}$$
$$x\le \frac{107}{36}.$$
С учётом области определения $$x\le 3$$ получаем:
функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{107}{36}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{107}{36};3\right].$$
2. Построим графики.
$$y=\sin(2|x|)$$
Функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси $$Oy$$. При $$x\ge 0$$ имеем $$y=\sin 2x$$, а при $$x<0$$ — отражение этой части относительно оси $$Oy$$.
$$y=2\cos|x|$$
Так как $$\cos|x|=\cos x$$, то график совпадает с графиком функции $$y=2\cos x$$.
$$y=|3\sin x|$$
Это график функции $$y=3\sin x$$, у которого все отрицательные значения отражены вверх относительно оси $$Ox$$.
$$y=\cos\frac{|x|}{2}$$
Функция чётная. При $$x\ge 0$$ это график $$y=\cos\frac{x}{2}$$, а при $$x<0$$ — его зеркальное отражение относительно оси $$Oy$$.
$$y=3\sin|x|$$
Функция чётная. При $$x\ge 0$$ строится график $$y=3\sin x$$, затем он отражается относительно оси $$Oy$$.
$$y=\frac12|\cos x|$$
Это график функции $$y=\frac12\cos x$$, у которого все отрицательные участки отражены вверх относительно оси $$Ox$$.
Ответ
а) возрастает на $$\left[-\frac12;+\infty\right)$$;
б) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{31}{16}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{31}{16};2\right]$$;
в) убывает на $$\left(-\infty;\frac32\right]$$;
г) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{107}{36}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{107}{36};3\right]$$.
