Упр.16.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте данную функцию на монотонность: а) $$y=\frac{4}{(x-2)^2}$$; б) $$y=\frac{2x}{x^2+1}$$; в) $$y=\frac{x^3}{x-2}$$; г) $$y=\frac{3}{(x+1)^2}$$; д) $$y=\frac{3x}{x^2+2}$$; е) $$y=\frac{2x^3}{3x+1}$$.
2. При каких значениях параметра $$p$$ функция $$y=x^4e^{-x}$$ на интервале $$(p-1; p+5)$$: а) имеет одну точку экстремума; б) не имеет точек экстремума; в) убывает; г) имеет две точки экстремума?

1. а) $$y=\frac{4}{(x-2)^2}$$

   $$y'(x)=4\cdot(-2)(x-2)^{-3}=\frac{-8}{(x-2)^3}$$
   Производная положительна при $$x<2$$ и отрицательна при $$x>2$$.

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty).$$

2. б) $$y=\frac{2x}{x^2+1}$$

   $$y'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$$

   $$1-x^2\ge 0 \iff -1\le x\le 1.$$

   Значит, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

3. в) $$y=\frac{x^3}{x-2}$$

   $$y'(x)=\frac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2} =\frac{2x^3-6x^2}{(x-2)^2} =\frac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}$$

   Так как $$x^2\ge 0$$ и $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется множителем $$x-3.$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty).$$

4. г) $$y=\frac{3}{(x+1)^2}$$

   $$y'(x)=3\cdot(-2)(x+1)^{-3}=\frac{-6}{(x+1)^3}$$

   Производная положительна при $$x<-1$$ и отрицательна при $$x>-1.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и убывает на $$(-1;+\infty).$$

5. д) $$y=\frac{3x}{x^2+2}$$

   $$y'(x)=\frac{3(x^2+2)-3x\cdot2x}{(x^2+2)^2} =\frac{6-3x^2}{(x^2+2)^2} =\frac{3(2-x^2)}{(x^2+2)^2}$$

   $$2-x^2\ge 0 \iff -\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$ и убывает на $$(-\infty;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;+\infty).$$

6. е) $$y=\frac{2x^3}{3x+1}$$

   $$y'(x)=\frac{6x^2(3x+1)-2x^3\cdot3}{(3x+1)^2} =\frac{12x^3+6x^2}{(3x+1)^2} =\frac{6x^2(2x+1)}{(3x+1)^2}$$

   Так как $$6x^2\ge 0$$ и $$(3x+1)^2>0$$ при $$x\ne -\frac13,$$ знак производной определяется множителем $$2x+1.$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;-\tfrac12]$$ и возрастает на $$[-\tfrac12;-\tfrac13)\cup(-\tfrac13;+\infty).$$

Рассмотрим функцию $$y=x^4e^{-x}$$ на интервале $$(p-1;\,p+5).$$

$$y'(x)=4x^3e^{-x}-x^4e^{-x}=e^{-x}x^3(4-x)$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$x^3(4-x).$$

$$y'(x)\ge 0 \iff x(4-x)\ge 0 \iff 0\le x\le 4.$$

Точки экстремума функции находятся в точках $$x=0$$ и $$x=4.$$

а) Функция имеет одну точку экстремума

Нужно, чтобы в интервал $$(p-1;\,p+5)$$ попала ровно одна из точек $$0$$ или $$4.$$

Если $$0\in(p-1;\,p+5),\quad 4\notin(p-1;\,p+5),$$ то
$$p<1,\quad p+5\le 4 \iff p\le -1,$$
значит $$p\le -1.$$

Если $$4\in(p-1;\,p+5),\quad 0\notin(p-1;\,p+5),$$ то
$$p>-1,\quad p-1\ge 0 \iff p\ge 1,$$
значит $$p\ge 1.$$

Итак, $$p\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

б) Функция не имеет точек экстремума

Нужно, чтобы интервал не содержал ни $$0,$$ ни $$4.$$ Тогда

$$p+5\le 0 \quad \text{или} \quad p-1\ge 4,$$

то есть

$$p\le -5 \quad \text{или} \quad p\ge 5.$$

Следовательно, $$p\in(-\infty;-5]\cup[5;+\infty).$$

в) Функция убывает

Чтобы функция убывала на всём интервале $$(p-1;\,p+5),$$ нужно, чтобы весь интервал лежал в области убывания $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$$

Это возможно только если

$$p+5\le 0 \quad \text{или} \quad p-1\ge 4,$$

то есть

$$p\in(-\infty;-5]\cup[5;+\infty).$$

г) Функция имеет две точки экстремума

Нужно, чтобы в интервал $$(p-1;\,p+5)$$ попали обе точки $$0$$ и $$4.$$ Тогда

$$p-1<0,\quad p+5>4,$$

то есть

$$p<1,\quad p>-1.$$

Следовательно, $$p\in(-1;1).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$;
б) $$(-\infty;-5]\cup[5;+\infty)$$;
в) $$(-\infty;-5]\cup[5;+\infty)$$;
г) $$(-1;1).$$