Упр.16.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=2x^2-8x+13; г) y=3x^2+6x-11;
б) y=3x^3-x^2; д) y=x^3-6x^2;
в) y=x^4-8x^2+19; е) y=x^4-2x^2-5. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) y=x^3 e^x; г) y=x^2 e^x;
б) y=xe^(2x-5); д) y=xe^(3x+4);
в) y=e^(2x) /x; е) y=e^x /x^2.
а) $$y=2x^2-8x+13$$
$$y'(x)=4x-8$$
$$4x-8=0 \Rightarrow x=2$$
При $$x<2$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>2$$ имеем $$y'(x)>0$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty)$$.
б) $$y=3x^3-x^2$$
$$y'(x)=9x^2-2x=x(9x-2)$$
$$x(9x-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\frac{2}{9}$$
Знак производной:
$$y'(x)>0 \text{ на } (-\infty;0)\cup\left(\frac{2}{9};+\infty\right),$$
$$y'(x)<0 \text{ на } \left(0;\frac{2}{9}\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{2}{9};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left[0;\frac{2}{9}\right].$$
в) $$y=x^4-8x^2+19$$
$$y'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$
По знакам производной получаем:
$$y'(x)>0 \text{ на } (-2;0)\cup(2;+\infty),$$
$$y'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(0;2).$$
Значит, функция возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
г) $$y=3x^2+6x-11$$
$$y'(x)=6x+6=6(x+1)$$
$$6(x+1)=0 \Rightarrow x=-1$$
При $$x<-1$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>-1$$ имеем $$y'(x)>0$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty).$$
д) $$y=x^3-6x^2$$
$$y'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$$
$$3x(x-4)=0 \Rightarrow x=0,\; x=4$$
По знакам производной:
$$y'(x)>0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$
$$y'(x)<0 \text{ на } (0;4).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$$ и убывает на $$[0;4].$$
е) $$y=x^4-2x^2-5$$
$$y'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
По знакам производной:
$$y'(x)>0 \text{ на } (-1;0)\cup(1;+\infty),$$
$$y'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(0;1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$
Ход решения
а) $$y=x^3e^x$$
$$y'(x)=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3)$$
Так как $$x^2e^x\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x+3.$$
Функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=-3.$$
б) $$y=xe^{2x-5}$$
$$y'(x)=e^{2x-5}+2xe^{2x-5}=e^{2x-5}(1+2x)$$
$$1+2x=0 \Rightarrow x=-\frac12$$
Функция убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$ и возрастает на $$[-\frac12;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=-\frac12.$$
в) $$y=\frac{e^{2x}}{x}$$, $$x\ne 0$$
$$y'(x)=\frac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}}{x^2}=\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$$
Так как $$e^{2x}>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется выражением $$2x-1.$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;\frac12]$$ и возрастает на $$[\frac12;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=\frac12.$$
г) $$y=x^2e^x$$
$$y'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)$$
Критические точки: $$x=-2,\;0.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0].$$
Максимум достигается при $$x=-2,$$ минимум — при $$x=0.$$
д) $$y=xe^{3x+4}$$
$$y'(x)=e^{3x+4}+3xe^{3x+4}=e^{3x+4}(1+3x)$$
$$1+3x=0 \Rightarrow x=-\frac13$$
Функция убывает на $$(-\infty;-\frac13]$$ и возрастает на $$[-\frac13;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=-\frac13.$$
е) $$y=\frac{e^x}{x^2}$$, $$x\ne 0$$
$$y'(x)=\frac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\frac{e^x(x^2-2x)}{x^4}=\frac{e^x x(x-2)}{x^4}$$
Так как $$e^x>0$$ и $$x^4>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется выражением $$x(x-2).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2].$$
Минимум достигается при $$x=2.$$
Ответ
1) а) убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{2}{9};+\infty\right)$$, убывает на $$\left[0;\frac{2}{9}\right]$$;
в) возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$;
г) убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$;
д) возрастает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[0;4]$$;
е) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$.
2) а) убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty)$$, $$x_{\min}=-3$$;
б) убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$, возрастает на $$[-\frac12;+\infty)$$, $$x_{\min}=-\frac12$$;
в) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;\frac12]$$, возрастает на $$[\frac12;+\infty)$$, $$x_{\min}=\frac12$$;
г) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$, $$x_{\max}=-2,\; x_{\min}=0$$;
д) убывает на $$(-\infty;-\frac13]$$, возрастает на $$[-\frac13;+\infty)$$, $$x_{\min}=-\frac13$$;
е) возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$, $$x_{\min}=2$$.
