Упр.16.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для дробно-линейной функции $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$ производная имеет вид

   $$y’=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}.$$

   Знак производной определяется числителем.

   а) $$y=\frac{2x-1}{x-3}$$
   $$y’=\frac{2(x-3)-(2x-1)}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2}<0,$$
   значит, функция убывает на $$(-\infty;3).$$

   б) $$y=\frac{3x-5}{x-1}$$
   $$y’=\frac{3(x-1)-(3x-5)}{(x-1)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}>0,$$
   значит, функция возрастает на $$(1;+\infty).$$

   в) $$y=\frac{4x-13}{2x-5}$$
   $$y’=\frac{4(2x-5)-2(4x-13)}{(2x-5)^2}=\frac{6}{(2x-5)^2}>0,$$
   значит, функция возрастает на $$(2{,}5;+\infty).$$

   г) $$y=\frac{4x-5}{x-2}$$
   $$y’=\frac{4(x-2)-(4x-5)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}<0,$$
   значит, функция убывает на $$(2;+\infty).$$

   д) $$y=\frac{6x-5}{3x-1}$$
   $$y’=\frac{6(3x-1)-3(6x-5)}{(3x-1)^2}=\frac{9}{(3x-1)^2}>0,$$
   значит, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac13\right).$$

   е) $$y=\frac{6x+13}{2x+3}$$
   $$y’=\frac{6(2x+3)-2(6x+13)}{(2x+3)^2}=\frac{-8}{(2x+3)^2}<0,$$
   значит, функция убывает на $$(-\infty;-1{,}5).$$

2. Исследуем функции на монотонность и экстремумы.

   а) $$y=\left|(x-4)(2-x)\right|=\left|6x-x^2-8\right|.$$

   $$6x-x^2-8\ge 0 \iff 2\le x\le 4.$$

   Тогда
   $$y=6x-x^2-8,\quad y’=6-2x.$$
   На $$[2;3]$$ функция возрастает, на $$[3;4]$$ убывает.

   При $$x<2$$ и $$x>4$$
   $$y=x^2-6x+8,\quad y’=2x-6.$$
   На $$(-\infty;2]$$ функция убывает, на $$[4;+\infty)$$ возрастает.

   Значит, функция возрастает на $$[2;3]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2]\cup[3;4].$$
   Минимумы при $$x=2$$ и $$x=4,$$ максимум при $$x=3.$$

   б) $$y=\left|x^3-9x\right|=\left|x(x-3)(x+3)\right|.$$

   Знак выражения $$x^3-9x$$ меняется в точках $$-3,\,0,\,3.$$

   На промежутках, где $$x^3-9x\ge 0,$$ имеем $$y=x^3-9x,$$ тогда
   $$y’=3x^2-9=3(x^2-3).$$
   Отсюда возрастает при $$x\le -\sqrt3$$ и $$x\ge \sqrt3.$$

   На промежутках, где $$x^3-9x<0,$$ имеем $$y=9x-x^3,$$ тогда
   $$y’=9-3x^2=3(3-x^2).$$
   Отсюда возрастает при $$-\sqrt3\le x\le \sqrt3.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-3;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]\cup[3;+\infty),$$
   убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;3].$$
   Минимумы при $$x=-3,\,0,\,3,$$ максимумы при $$x=\pm\sqrt3.$$

   в) $$y=x^2-6|x-1|+1.$$

   Если $$x\ge 1,$$ то
   $$y=x^2-6(x-1)+1=x^2-6x+7,\quad y’=2x-6.$$
   Значит, на $$[1;3]$$ функция убывает, на $$[3;+\infty)$$ возрастает.

   Если $$x<1,$$ то
   $$y=x^2+6(x-1)+1=x^2+6x-5,\quad y’=2x+6.$$
   Значит, на $$(-\infty;-3]$$ функция убывает, на $$[-3;1]$$ возрастает.

   Следовательно, функция возрастает на $$[-3;1]\cup[3;+\infty),$$
   убывает на $$(-\infty;-3]\cup[1;3].$$
   Минимумы при $$x=-3$$ и $$x=3,$$ максимум при $$x=1.$$

   г) $$y=\left|(x-1)(x+3)\right|=\left|x^2+2x-3\right|.$$

   $$x^2+2x-3\ge 0 \iff x\le -3 \text{ или } x\ge 1.$$

   Тогда при $$x\le -3$$ и $$x\ge 1$$
   $$y=x^2+2x-3,\quad y’=2x+2.$$
   На $$(-\infty;-3]$$ функция убывает, на $$[-3;-1]$$ возрастает, на $$[-1;+\infty)$$ возрастает.

   При $$-3<x<1$$
   $$y=3-x^2-2x,\quad y’=-2x-2.$$
   Отсюда на $$[-1;1]$$ функция убывает.

   Следовательно, функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$
   убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1].$$
   Минимумы при $$x=-3$$ и $$x=1,$$ максимум при $$x=-1.$$

   д) $$y=\left|3x-x^3\right|=\left|x(3-x^2)\right|.$$

   $$3x-x^3\ge 0 \iff x\le -\sqrt3 \text{ или } 0\le x\le \sqrt3.$$

   На этих промежутках
   $$y=3x-x^3,\quad y’=3-3x^2=3(1-x^2).$$
   Значит, функция возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty).$$

   На остальных промежутках
   $$y=x^3-3x,\quad y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
   Значит, функция убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3].$$
   Минимумы при $$x=-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3,$$ максимумы при $$x=\pm1.$$

   е) $$y=4|x|-6-x^2.$$

   Если $$x\ge 0,$$ то
   $$y=4x-6-x^2,\quad y’=4-2x.$$
   Значит, на $$[0;2]$$ функция возрастает, на $$[2;+\infty)$$ убывает.

   Если $$x<0,$$ то
   $$y=-4x-6-x^2,\quad y’=-4-2x.$$
   Значит, на $$(-\infty;-2]$$ функция возрастает, на $$[-2;0]$$ убывает.

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$
   убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
   Максимумы при $$x=-2$$ и $$x=2,$$ минимум при $$x=0.$$

Ответ

1) а) убывает на $$(-\infty;3)$$; б) возрастает на $$(1;+\infty)$$; в) возрастает на $$(2{,}5;+\infty)$$; г) убывает на $$(2;+\infty)$$; д) возрастает на $$\left(-\infty;\frac13\right)$$; е) убывает на $$(-\infty;-1{,}5).$$

2) а) возрастает на $$[2;3]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2]\cup[3;4];$$
б) возрастает на $$[-3;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;3];$$
в) возрастает на $$[-3;1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[1;3];$$
г) возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1];$$
д) возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3];$$
е) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$