Упр.16.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=(2x-1)/(x-3) убывает на (-?; 3);
б) y=(3x-5)/(x-1) возрастает на (1; +?);
в) y=(4x-13)/(2x-5) возрастает на (2,5; +?);
г) y=(4x-5)/(x-2) убывает на (2; +?);
д) y=(6x-5)/(3x-1) возрастает на (-?; 1/3);
е) y=(6x+13)/(2x+3) убывает на (-?; -1,5).
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) y=|(x-4)(2-x)|; г) y=|(x-1)(x+3)|;
б) y=|x^3-9x|; д) y=|3x-x^3|;
в) y=x^2-6|x-1|+1; е) y=4|x|-6-x^2.
Для дробно-линейной функции $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$ производная имеет вид
$$y’=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}.$$
Знак производной определяется числителем.
а) $$y=\frac{2x-1}{x-3}$$
$$y’=\frac{2(x-3)-(2x-1)}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2}<0,$$
значит, функция убывает на $$(-\infty;3).$$б) $$y=\frac{3x-5}{x-1}$$
$$y’=\frac{3(x-1)-(3x-5)}{(x-1)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}>0,$$
значит, функция возрастает на $$(1;+\infty).$$в) $$y=\frac{4x-13}{2x-5}$$
$$y’=\frac{4(2x-5)-2(4x-13)}{(2x-5)^2}=\frac{6}{(2x-5)^2}>0,$$
значит, функция возрастает на $$(2{,}5;+\infty).$$г) $$y=\frac{4x-5}{x-2}$$
$$y’=\frac{4(x-2)-(4x-5)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}<0,$$
значит, функция убывает на $$(2;+\infty).$$д) $$y=\frac{6x-5}{3x-1}$$
$$y’=\frac{6(3x-1)-3(6x-5)}{(3x-1)^2}=\frac{9}{(3x-1)^2}>0,$$
значит, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac13\right).$$е) $$y=\frac{6x+13}{2x+3}$$
$$y’=\frac{6(2x+3)-2(6x+13)}{(2x+3)^2}=\frac{-8}{(2x+3)^2}<0,$$
значит, функция убывает на $$(-\infty;-1{,}5).$$Исследуем функции на монотонность и экстремумы.
а) $$y=\left|(x-4)(2-x)\right|=\left|6x-x^2-8\right|.$$
$$6x-x^2-8\ge 0 \iff 2\le x\le 4.$$
Тогда
$$y=6x-x^2-8,\quad y’=6-2x.$$
На $$[2;3]$$ функция возрастает, на $$[3;4]$$ убывает.При $$x<2$$ и $$x>4$$
$$y=x^2-6x+8,\quad y’=2x-6.$$
На $$(-\infty;2]$$ функция убывает, на $$[4;+\infty)$$ возрастает.Значит, функция возрастает на $$[2;3]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2]\cup[3;4].$$
Минимумы при $$x=2$$ и $$x=4,$$ максимум при $$x=3.$$б) $$y=\left|x^3-9x\right|=\left|x(x-3)(x+3)\right|.$$
Знак выражения $$x^3-9x$$ меняется в точках $$-3,\,0,\,3.$$
На промежутках, где $$x^3-9x\ge 0,$$ имеем $$y=x^3-9x,$$ тогда
$$y’=3x^2-9=3(x^2-3).$$
Отсюда возрастает при $$x\le -\sqrt3$$ и $$x\ge \sqrt3.$$На промежутках, где $$x^3-9x<0,$$ имеем $$y=9x-x^3,$$ тогда
$$y’=9-3x^2=3(3-x^2).$$
Отсюда возрастает при $$-\sqrt3\le x\le \sqrt3.$$Следовательно, функция возрастает на $$[-3;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]\cup[3;+\infty),$$
убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;3].$$
Минимумы при $$x=-3,\,0,\,3,$$ максимумы при $$x=\pm\sqrt3.$$в) $$y=x^2-6|x-1|+1.$$
Если $$x\ge 1,$$ то
$$y=x^2-6(x-1)+1=x^2-6x+7,\quad y’=2x-6.$$
Значит, на $$[1;3]$$ функция убывает, на $$[3;+\infty)$$ возрастает.Если $$x<1,$$ то
$$y=x^2+6(x-1)+1=x^2+6x-5,\quad y’=2x+6.$$
Значит, на $$(-\infty;-3]$$ функция убывает, на $$[-3;1]$$ возрастает.Следовательно, функция возрастает на $$[-3;1]\cup[3;+\infty),$$
убывает на $$(-\infty;-3]\cup[1;3].$$
Минимумы при $$x=-3$$ и $$x=3,$$ максимум при $$x=1.$$г) $$y=\left|(x-1)(x+3)\right|=\left|x^2+2x-3\right|.$$
$$x^2+2x-3\ge 0 \iff x\le -3 \text{ или } x\ge 1.$$
Тогда при $$x\le -3$$ и $$x\ge 1$$
$$y=x^2+2x-3,\quad y’=2x+2.$$
На $$(-\infty;-3]$$ функция убывает, на $$[-3;-1]$$ возрастает, на $$[-1;+\infty)$$ возрастает.При $$-3<x<1$$
$$y=3-x^2-2x,\quad y’=-2x-2.$$
Отсюда на $$[-1;1]$$ функция убывает.Следовательно, функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$
убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1].$$
Минимумы при $$x=-3$$ и $$x=1,$$ максимум при $$x=-1.$$д) $$y=\left|3x-x^3\right|=\left|x(3-x^2)\right|.$$
$$3x-x^3\ge 0 \iff x\le -\sqrt3 \text{ или } 0\le x\le \sqrt3.$$
На этих промежутках
$$y=3x-x^3,\quad y’=3-3x^2=3(1-x^2).$$
Значит, функция возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty).$$На остальных промежутках
$$y=x^3-3x,\quad y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3].$$
Минимумы при $$x=-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3,$$ максимумы при $$x=\pm1.$$е) $$y=4|x|-6-x^2.$$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$y=4x-6-x^2,\quad y’=4-2x.$$
Значит, на $$[0;2]$$ функция возрастает, на $$[2;+\infty)$$ убывает.Если $$x<0,$$ то
$$y=-4x-6-x^2,\quad y’=-4-2x.$$
Значит, на $$(-\infty;-2]$$ функция возрастает, на $$[-2;0]$$ убывает.Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$
убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Максимумы при $$x=-2$$ и $$x=2,$$ минимум при $$x=0.$$
Ответ
1) а) убывает на $$(-\infty;3)$$; б) возрастает на $$(1;+\infty)$$; в) возрастает на $$(2{,}5;+\infty)$$; г) убывает на $$(2;+\infty)$$; д) возрастает на $$\left(-\infty;\frac13\right)$$; е) убывает на $$(-\infty;-1{,}5).$$
2) а) возрастает на $$[2;3]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2]\cup[3;4];$$
б) возрастает на $$[-3;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;3];$$
в) возрастает на $$[-3;1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[1;3];$$
г) возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1];$$
д) возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3];$$
е) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
