Упр.16.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=8-16x-4x^3; в) y=log_2(x)+sin(x)+2x;
б) y=cos(2x)+4x-6; г) y=log_(1/3)(x)-x^3-3x. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) y=|x-2|-1; в) y=|x+1|-3;
б) y=|1/x-1|; г) y=|2-2/x|.
Функция монотонна на всей числовой прямой.
а) $$y=8-16x-4x^3$$
$$y'(x)=-16-12x^2<0$$
Следовательно, функция убывает на всей $$\mathbb{R}$$.
б) $$y=\cos 2x+4x-6$$
$$y'(x)=-2\sin 2x+4$$
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1$$, то
$$2\le -2\sin 2x+4\le 6,$$
значит, $$y'(x)>0$$ при всех $$x$$. Функция возрастает на всей $$\mathbb{R}$$.
в) $$y=\log_2 x+\sin x+2x$$
Область определения: $$x>0$$.
$$y'(x)=\frac{1}{x\ln 2}+\cos x+2$$
При $$x>0$$ имеем $$\frac{1}{x\ln 2}>0$$, а также $$\cos x\ge -1$$, поэтому
$$y'(x)>\,0-1+2=1>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$.
г) $$y=\log_{\frac13}x-x^3-3x$$
Область определения: $$x>0$$.
$$y'(x)=\frac{1}{x\ln \frac13}-3x^2-3$$
Так как $$\ln \frac13<0$$ и $$x>0$$, то
$$\frac{1}{x\ln \frac13}<0,$$
а значит, $$y'(x)<0$$ при всех $$x>0$$. Функция убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
а) $$y=|x-2|-1$$
Если $$x\ge 2$$, то $$y=x-2-1=x-3$$, и $$y'(x)=1>0$$.
Если $$x<2$$, то $$y=2-x-1=1-x$$, и $$y'(x)=-1<0$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty)$$.
Минимум достигается при $$x=2$$:
$$y_{\min}=|2-2|-1=-1.$$
б) $$y=\left|\frac1x-1\right|$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Если $$0<x\le 1$$, то $$\frac1x-1\ge 0$$ и
$$y=\frac1x-1,\qquad y'(x)=-\frac1{x^2}<0.$$
Если $$x<0$$ или $$x>1$$, то $$\frac1x-1<0$$ и
$$y=1-\frac1x,\qquad y'(x)=\frac1{x^2}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$\left(0;1\right]$$.
Минимум достигается при $$x=1$$:
$$y_{\min}=\left|\frac11-1\right|=0.$$
в) $$y=|x+1|-3$$
Если $$x\ge -1$$, то $$y=x+1-3=x-2$$, и $$y'(x)=1>0$$.
Если $$x<-1$$, то $$y=-x-1-3=-x-4$$, и $$y'(x)=-1<0$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.
Минимум достигается при $$x=-1$$:
$$y_{\min}=|-1+1|-3=-3.$$
г) $$y=\left|2-\frac2x\right|$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Если $$x<0$$ или $$x\ge 1$$, то $$2-\frac2x\ge 0$$ и
$$y=2-\frac2x,\qquad y'(x)=\frac2{x^2}>0.$$
Если $$0<x<1$$, то $$2-\frac2x<0$$ и
$$y=\frac2x-2,\qquad y'(x)=-\frac2{x^2}<0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$\left(0;1\right]$$.
Минимум достигается при $$x=1$$:
$$y_{\min}=\left|2-\frac21\right|=0.$$
Ответ
1) а) убывает; б) возрастает; в) возрастает; г) убывает.
2) а) убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$, $$y_{\min}=-1$$ при $$x=2$$;
б) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$\left(0;1\right]$$, $$y_{\min}=0$$ при $$x=1$$;
в) убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$, $$y_{\min}=-3$$ при $$x=-1$$;
г) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$\left(0;1\right]$$, $$y_{\min}=0$$ при $$x=1$$.
