Упр.16.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1) Докажем монотонность функций.

а) $$y=-4x^3-2x+7$$

$$y'(x)=-12x^2-2$$

Так как $$-12x^2-2<0$$ при всех $$x$$, то функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

б) $$y=x^3-x^2+5x-1$$

$$y'(x)=3x^2-2x+5$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 5=4-60=-56<0$$

При $$3>0$$ и $$D<0$$ имеем $$3x^2-2x+5>0$$ при всех $$x$$, значит функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.

в) $$y=-x^5-2x^3-3x+6$$

$$y'(x)=-5x^4-6x^2-3$$

Так как $$-5x^4-6x^2-3<0$$ при всех $$x$$, то функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

г) $$y=2x^3-7x+11$$

$$y'(x)=6x^2-7$$

Производная меняет знак, поэтому функция не является монотонной на всей числовой прямой.
Критические точки:

$$6x^2-7=0,\quad x=\pm \sqrt{\frac{7}{6}}$$

Тогда функция:

• возрастает на $$\left(-\infty;-\sqrt{\frac{7}{6}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{7}{6}};+\infty\right)$$;
• убывает на $$\left(-\sqrt{\frac{7}{6}};\sqrt{\frac{7}{6}}\right)$$.

д) $$y=2x^3+2x^2+3x+7$$

$$y'(x)=6x^2+4x+3$$

$$D=4^2-4\cdot 6\cdot 3=16-72=-56<0$$

Так как $$6>0$$ и $$D<0$$, то $$6x^2+4x+3>0$$ при всех $$x$$. Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.

е) $$y=2x^5-x^3+4x-3$$

$$y'(x)=10x^4-3x^2+4$$

Рассмотрим как квадратное относительно $$x^2$$:

$$10t^2-3t+4,\quad t=x^2\ge 0$$

$$D=(-3)^2-4\cdot 10\cdot 4=9-160=-151<0$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$10x^4-3x^2+4>0$$ при всех $$x$$. Значит, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.

2) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы на указанном промежутке.

а) $$y=\sin\left(x-\frac{3\pi}{4}\right),\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$

$$y'(x)=\cos\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)$$

$$\cos\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\ge 0$$ при

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x-\frac{3\pi}{4}\le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем:

• возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$$;
• убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right]$$.

Минимум достигается при $$x=\frac{\pi}{4}$$, максимум — при $$x=\frac{5\pi}{4}$$.

б) $$y=\sqrt{2}\cos x-x,\quad x\in\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$

$$y'(x)=-\sqrt{2}\sin x-1$$

Найдём, где $$y'(x)\ge 0$$:

$$-\sqrt{2}\sin x-1\ge 0$$

$$\sin x\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

На отрезке $$\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ это выполняется при

$$x\in\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right]$$

Следовательно:

• возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right]$$;
• убывает на $$\left[-\frac{5\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup \left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$.

Минимум достигается при $$x=-\frac{3\pi}{4}$$, максимум — при $$x=-\frac{\pi}{4}$$.

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;+\infty)$$;

б) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;

в) убывает на $$(-\infty;+\infty)$$;

г) возрастает на $$\left(-\infty;-\sqrt{\frac{7}{6}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{7}{6}};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\sqrt{\frac{7}{6}};\sqrt{\frac{7}{6}}\right)$$;

д) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;

е) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;

2а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right]$$, $$x_{\min}=\frac{\pi}{4}$$, $$x_{\max}=\frac{5\pi}{4}$$;

2б) возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{5\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup \left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$, $$x_{\min}=-\frac{3\pi}{4}$$, $$x_{\max}=-\frac{\pi}{4}$$.