Упр.16.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Докажем, что функция убывает.

а) $$y=\cos x-3x$$

$$y'(x)=-\sin x-3$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$-\sin x-3\le 1-3=-2<0.$$ Следовательно, функция убывает.

б) $$y=\left(\frac12\right)^x+\log_{0,5}x$$

Область определения: $$x>0.$$

$$y'(x)=\left(\frac12\right)^x\ln\frac12+\frac{1}{x\ln 0,5}$$

Так как $$\ln\frac12<0,$$ $$\ln 0,5<0,$$ а $$\left(\frac12\right)^x>0,$$ $$x>0,$$ то оба слагаемых отрицательны. Значит, $$y'(x)<0,$$ и функция убывает.

в) $$y=\sin 2x-4x$$

$$y'(x)=2\cos 2x-4$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то $$2\cos 2x-4\le 2-4=-2<0.$$ Следовательно, функция убывает.

г) $$y=\left(\frac13\right)^x+\log_{0,3}x$$

Область определения: $$x>0.$$

$$y'(x)=\left(\frac13\right)^x\ln\frac13+\frac{1}{x\ln 0,3}$$

Так как $$\ln\frac13<0,$$ $$\ln 0,3<0,$$ а $$\left(\frac13\right)^x>0,$$ $$x>0,$$ то $$y'(x)<0.$$ Значит, функция убывает.

2. Найдём точки экстремума на отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$.

а) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$

$$y'(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$

Критические точки:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0$$

$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi k$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$

На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2,\quad y\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-2,\quad y\left(\frac{7\pi}{3}\right)=2.$$

Следовательно, $$x=\frac{\pi}{3}$$ и $$x=\frac{7\pi}{3}$$ — точки максимума, $$x=\frac{4\pi}{3}$$ — точка минимума.

б) $$y=\cos\frac{2x}{3}+0,5$$

$$y'(x)=-\frac{2}{3}\sin\frac{2x}{3}$$

Критические точки:

$$\sin\frac{2x}{3}=0$$

$$\frac{2x}{3}=\pi k$$

$$x=\frac{3\pi k}{2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=0,\ \frac{3\pi}{2}.$$

$$y(0)=1,5,\quad y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-0,5.$$

Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\frac{3\pi}{2}$$ — точка минимума.

в) $$y=0,5\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

$$y'(x)=-0,5\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

Критические точки:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$x-\frac{\pi}{3}=\pi k$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$

На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0,5,\quad y\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-0,5,\quad y\left(\frac{7\pi}{3}\right)=0,5.$$

Следовательно, $$x=\frac{\pi}{3}$$ и $$x=\frac{7\pi}{3}$$ — точки максимума, $$x=\frac{4\pi}{3}$$ — точка минимума.

г) $$y=\sin 2x-1,5$$

$$y'(x)=2\cos 2x$$

Критические точки:

$$\cos 2x=0$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$

Значения функции чередуются:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=-0,5,\quad y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-2,5,\quad y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-0,5,$$

$$y\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-2,5,\quad y\left(\frac{9\pi}{4}\right)=-0,5.$$

Значит, $$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$ — точки максимума, а $$x=\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$ — точки минимума.

Ответ

Функции из пунктов а)–г) убывают на своей области определения.

На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$:

• а) максимумы при $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$, минимум при $$x=\frac{4\pi}{3}$$;
• б) максимум при $$x=0$$, минимум при $$x=\frac{3\pi}{2}$$;
• в) максимумы при $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$, минимум при $$x=\frac{4\pi}{3}$$;
• г) максимумы при $$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$, минимумы при $$x=\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$.