Упр.15.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = 2e^(3x-1) + 6e^(x/2 — 2); б) y = 2^(5-x) — (x^3 / 3^(1-2x));
в) y = e^(37x) / cos 14x; г) y = (e^(5x+3) / 10) — (2^(3x-6) / 6);
д) y = 3^(2x-4) / x^2; е) y = e^(2x) sin 3x. Изобразите эскиз графика функции у=f(x), если промежутки постоянства знака производной f'(x) представлены на указанном рисунке:
а) рис. 72; в) рис. 74; д) рис. 76;
б) рис. 73; г) рис. 75; е) рис. 77.

1. Найдём производные функций.

   а) $$y=2e^{3x-1}+6e^{\frac{x}{2}-2}$$

   $$y’=2\cdot 3e^{3x-1}+6\cdot \frac12 e^{\frac{x}{2}-2}=6e^{3x-1}+3e^{\frac{x}{2}-2}$$

   б) $$y=2^{5-x}-\frac{x^3}{3^{1-2x}}$$

   $$y’=-2^{5-x}\ln 2-\left(\frac{x^3}{3^{1-2x}}\right)’$$

   $$\left(\frac{x^3}{3^{1-2x}}\right)’=\frac{3x^2\cdot 3^{1-2x}-x^3\cdot 3^{1-2x}\cdot(-2\ln 3)}{(3^{1-2x})^2}$$

   $$=\frac{3^{1-2x}x^2(3+2x\ln 3)}{3^{2-4x}}=\frac{x^2(3+2x\ln 3)}{3^{1-2x}}$$

   Следовательно,

   $$y’=-2^{5-x}\ln 2-\frac{x^2(3+2x\ln 3)}{3^{1-2x}}$$

   в) $$y=\frac{e^{37x}}{\cos 14x}$$

   $$y’=\frac{37e^{37x}\cos 14x+14e^{37x}\sin 14x}{\cos^2 14x}$$

   $$y’=\frac{e^{37x}(37\cos 14x+14\sin 14x)}{\cos^2 14x}$$

   г) $$y=\frac{e^{5x+3}}{10}-\frac{2^{3x-6}}{6}$$

   $$y’=\frac{5}{10}e^{5x+3}-\frac{3\ln 2}{6}\,2^{3x-6}$$

   $$y’=\frac12 e^{5x+3}-\frac12\,2^{3x-6}\ln 2$$

   д) $$y=\frac{3^{2x-4}}{x^2}$$

   $$y’=\frac{2\ln 3\cdot 3^{2x-4}\cdot x^2-2x\cdot 3^{2x-4}}{x^4}$$

   $$y’=\frac{2\cdot 3^{2x-4}(\,x\ln 3-1\,)}{x^3}$$

   е) $$y=e^{2x}\sin 3x$$

   $$y’=2e^{2x}\sin 3x+3e^{2x}\cos 3x$$

   $$y’=e^{2x}(2\sin 3x+3\cos 3x)$$

2. По знакам производной определяем поведение функции:

   • если $$f'(x)>0$$, то $$f(x)$$ возрастает;
   • если $$f'(x)<0$$, то $$f(x)$$ убывает;
   • в точках, где знак $$f'(x)$$ меняется, у функции есть экстремум.

   Тогда эскизы графиков соответствуют рисункам:

   а) рисунок 72;

   б) рисунок 73;

   в) рисунок 74;

   г) рисунок 75;

   д) рисунок 76;

   е) рисунок 77.

Ответ

а) $$y’=6e^{3x-1}+3e^{\frac{x}{2}-2}$$;
б) $$y’=-2^{5-x}\ln 2-\frac{x^2(3+2x\ln 3)}{3^{1-2x}}$$;
в) $$y’=\frac{e^{37x}(37\cos 14x+14\sin 14x)}{\cos^2 14x}$$;
г) $$y’=\frac12 e^{5x+3}-\frac12\,2^{3x-6}\ln 2$$;
д) $$y’=\frac{2\cdot 3^{2x-4}(\,x\ln 3-1\,)}{x^3}$$;
е) $$y’=e^{2x}(2\sin 3x+3\cos 3x)$$.

Эскизы графиков: а) 72, б) 73, в) 74, г) 75, д) 76, е) 77.