Упр.15.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите производную функции:
а) $$y=2e^{3x-1}+6e^{\frac{x}{2}-2}$$;
б) $$y=2^{5-x}-\frac{x^3}{3^{1-2x}}$$;
в) $$y=\frac{e^{37x}}{\cos 14x}$$;
г) $$y=\frac{e^{5x+3}}{10}-\frac{2^{3x-6}}{6}$$;
д) $$y=\frac{3^{2x-4}}{x^2}$$;
е) $$y=e^{2x}\sin 3x$$. - Изобразите эскиз графика функции $$у=f(x)$$, если промежутки постоянства знака производной $$f'(x)$$ представлены на указанном рисунке:
а) рис. 72; б) рис. 73; в) рис. 74; г) рис. 75; д) рис. 76; е) рис. 77.
Найдём производные функций.
а) $$y=2e^{3x-1}+6e^{\frac{x}{2}-2}$$
$$y’=2\cdot 3e^{3x-1}+6\cdot \frac12 e^{\frac{x}{2}-2}=6e^{3x-1}+3e^{\frac{x}{2}-2}$$
б) $$y=2^{5-x}-\frac{x^3}{3^{1-2x}}$$
$$y’=-2^{5-x}\ln 2-\left(\frac{x^3}{3^{1-2x}}\right)’$$
$$\left(\frac{x^3}{3^{1-2x}}\right)’=\frac{3x^2\cdot 3^{1-2x}-x^3\cdot 3^{1-2x}\cdot(-2\ln 3)}{(3^{1-2x})^2}$$
$$=\frac{3^{1-2x}x^2(3+2x\ln 3)}{3^{2-4x}}=\frac{x^2(3+2x\ln 3)}{3^{1-2x}}$$
Следовательно,
$$y’=-2^{5-x}\ln 2-\frac{x^2(3+2x\ln 3)}{3^{1-2x}}$$
в) $$y=\frac{e^{37x}}{\cos 14x}$$
$$y’=\frac{37e^{37x}\cos 14x+14e^{37x}\sin 14x}{\cos^2 14x}$$
$$y’=\frac{e^{37x}(37\cos 14x+14\sin 14x)}{\cos^2 14x}$$
г) $$y=\frac{e^{5x+3}}{10}-\frac{2^{3x-6}}{6}$$
$$y’=\frac{5}{10}e^{5x+3}-\frac{3\ln 2}{6}\,2^{3x-6}$$
$$y’=\frac12 e^{5x+3}-\frac12\,2^{3x-6}\ln 2$$
д) $$y=\frac{3^{2x-4}}{x^2}$$
$$y’=\frac{2\ln 3\cdot 3^{2x-4}\cdot x^2-2x\cdot 3^{2x-4}}{x^4}$$
$$y’=\frac{2\cdot 3^{2x-4}(\,x\ln 3-1\,)}{x^3}$$
е) $$y=e^{2x}\sin 3x$$
$$y’=2e^{2x}\sin 3x+3e^{2x}\cos 3x$$
$$y’=e^{2x}(2\sin 3x+3\cos 3x)$$
По знакам производной определяем поведение функции:
- если $$f'(x)>0$$, то $$f(x)$$ возрастает;
- если $$f'(x)<0$$, то $$f(x)$$ убывает;
- в точках, где знак $$f'(x)$$ меняется, у функции есть экстремум.
Тогда эскизы графиков соответствуют рисункам:
а) рисунок 72;
б) рисунок 73;
в) рисунок 74;
г) рисунок 75;
д) рисунок 76;
е) рисунок 77.
Ответ
а) $$y’=6e^{3x-1}+3e^{\frac{x}{2}-2}$$;
б) $$y’=-2^{5-x}\ln 2-\frac{x^2(3+2x\ln 3)}{3^{1-2x}}$$;
в) $$y’=\frac{e^{37x}(37\cos 14x+14\sin 14x)}{\cos^2 14x}$$;
г) $$y’=\frac12 e^{5x+3}-\frac12\,2^{3x-6}\ln 2$$;
д) $$y’=\frac{2\cdot 3^{2x-4}(\,x\ln 3-1\,)}{x^3}$$;
е) $$y’=e^{2x}(2\sin 3x+3\cos 3x)$$.
Эскизы графиков: а) 72, б) 73, в) 74, г) 75, д) 76, е) 77.
