Упр.15.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите значение производной в точке $$x_0$$:
а) $$y=e^x+x^3,\quad x_0=0$$;
г) $$y=e^x-x^4,\quad x_0=1$$;
б) $$y=e^{2x+3}-5,\quad x_0=-1$$;
д) $$y=e^{9-3x}+x,\quad x_0=3$$;
в) $$y=e^xvx,\quad x_0=1$$;
е) $$y=e^x x^{\frac{1}{3}},\quad x_0=1$$. - Задание учебника 2022 года.
а) Изобразите эскиз графика производной функции $$y=f(x)$$, если известно, что функция $$y=f(x)$$ возрастает на луче $$(-\infty;-1]$$ и убывает на луче $$[-1;+\infty)$$.
б) Изобразите эскиз графика производной функции $$y=f(x)$$, если известно, что функция $$y=f(x)$$ возрастает на луче $$[3;+\infty)$$ и убывает на луче $$(-\infty;3]$$.
Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.
а) $$y=e^x+x^3$$
$$y'(x)=e^x+3x^2$$
$$y'(0)=e^0+3\cdot 0^2=1$$
б) $$y=e^{2x+3}-5$$
$$y'(x)=2e^{2x+3}$$
$$y'(-1)=2e^{-2+3}=2e$$
в) $$y=e^x\sqrt{x}$$
$$y'(x)=e^x\sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$$
$$y'(1)=e+\frac{e}{2}=\frac{3}{2}e$$
г) $$y=e^x-x^4$$
$$y'(x)=e^x-4x^3$$
$$y'(1)=e-4$$
д) $$y=e^{9-3x}+x$$
$$y'(x)=-3e^{9-3x}+1$$
$$y'(3)=-3e^0+1=-2$$
е) $$y=e^x\sqrt[3]{x}$$
$$y'(x)=e^x\sqrt[3]{x}+\frac{1}{3}e^x x^{-\frac{2}{3}}$$
$$y'(1)=e+\frac{1}{3}e=\frac{4}{3}e$$
Если функция $$f(x)$$ возрастает на луче $$(-\infty;\,-1]$$ и убывает на луче $$[-1;\,+\infty)$$, то производная:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1,$$
$$f'(-1)=0,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x>-1.$$
Значит, график производной — убывающая кривая, пересекающая ось $$Ox$$ в точке $$x=-1$$.
Если функция $$f(x)$$ убывает на луче $$(-\infty;\,3]$$ и возрастает на луче $$[3;\,+\infty)$$, то производная:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<3,$$
$$f'(3)=0,$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x>3.$$
Значит, график производной пересекает ось $$Ox$$ в точке $$x=3$$ и меняет знак с отрицательного на положительный.
Ответ
а) $$1$$; б) $$2e$$; в) $$\frac{3}{2}e$$; г) $$e-4$$; д) $$-2$$; е) $$\frac{4}{3}e$$.
Для графика производной: в пункте а) нуль при $$x=-1$$, знак $$+\to-$$; в пункте б) нуль при $$x=3$$, знак $$-\to+$$.
