Упр.15.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=e^x+x^3, x_0=0; г) y=e^x-x^4, x_0=1;
б) y=e^(2x+3)-5, x_0=-1; д) y=e^(9-3x)+x, x_0=3;
в) y=e^xvx, x_0=1; е) y=e^x x^(1/3), x_0=1. а) Изобразите эскиз графика производной функции y=f(x), если известно, что функции у=f(x) возрастает на луче (—?; — 1] и убывает на луче [—1; +?).
б) Изобразите эскиз графика производной функции у=f(x), если известно, что функция у=f(x) возрастает на луче [3; +?) и убывает на луче (—?; 3].

1. Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.

   а) $$y=e^x+x^3$$

   $$y'(x)=e^x+3x^2$$

   $$y'(0)=e^0+3\cdot 0^2=1$$

   б) $$y=e^{2x+3}-5$$

   $$y'(x)=2e^{2x+3}$$

   $$y'(-1)=2e^{-2+3}=2e$$

   в) $$y=e^x\sqrt{x}$$

   $$y'(x)=e^x\sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$$

   $$y'(1)=e+\frac{e}{2}=\frac{3}{2}e$$

   г) $$y=e^x-x^4$$

   $$y'(x)=e^x-4x^3$$

   $$y'(1)=e-4$$

   д) $$y=e^{9-3x}+x$$

   $$y'(x)=-3e^{9-3x}+1$$

   $$y'(3)=-3e^0+1=-2$$

   е) $$y=e^x\sqrt[3]{x}$$

   $$y'(x)=e^x\sqrt[3]{x}+\frac{1}{3}e^x x^{-\frac{2}{3}}$$

   $$y'(1)=e+\frac{1}{3}e=\frac{4}{3}e$$

2. Если функция $$f(x)$$ возрастает на луче $$(-\infty;\,-1]$$ и убывает на луче $$[-1;\,+\infty)$$, то производная:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<-1,$$

   $$f'(-1)=0,$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x>-1.$$

   Значит, график производной — убывающая кривая, пересекающая ось $$Ox$$ в точке $$x=-1$$.

   Если функция $$f(x)$$ убывает на луче $$(-\infty;\,3]$$ и возрастает на луче $$[3;\,+\infty)$$, то производная:

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<3,$$

   $$f'(3)=0,$$

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>3.$$

   Значит, график производной пересекает ось $$Ox$$ в точке $$x=3$$ и меняет знак с отрицательного на положительный.

Ответ

а) $$1$$; б) $$2e$$; в) $$\frac{3}{2}e$$; г) $$e-4$$; д) $$-2$$; е) $$\frac{4}{3}e$$.
Для графика производной: в пункте а) нуль при $$x=-1$$, знак $$+\to-$$; в пункте б) нуль при $$x=3$$, знак $$-\to+$$.