Упр.15.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=3^(2x-1)+x^4; г) y=0,5^(3x+2)-x^3;
б) y=-2x·10^(2x); д) y=3x·0,1^(-3x);
в) y=0,8^x/(4x-3); е) y=(3-5x)/1,2^x. На рисунке 71 изображены графики производных функций у=f(x), у=g(х) и у=h(x). Опишите характер монотонности (убывает или возрастает) каждой из функций у=f(x), у=g(x) и у=h(x) на промежутке:
а) [-3; -1]; в) [0; 2]; д) [3; 5];
б) [1; 3]; г) [-2; 0]; е) [-6; -3].

1. Найдём производные функций:

   а) $$y=3^{2x-1}+x^4$$
   $$y’ = 2\cdot 3^{2x-1}\ln 3 + 4x^3.$$

   б) $$y=-2x\cdot 10^{2x}$$
   $$y’=-2\cdot 10^{2x}-2x\cdot 10^{2x}\ln 10$$
   $$y’=-2\cdot 10^{2x}(1+x\ln 10).$$

   в) $$y=\frac{0{,}8^x}{4x-3}$$
   $$y’=\frac{0{,}8^x\ln 0{,}8\,(4x-3)-0{,}8^x\cdot 4}{(4x-3)^2}$$
   $$y’=\frac{0{,}8^x\bigl(\ln 0{,}8\,(4x-3)-4\bigr)}{(4x-3)^2}.$$

   г) $$y=0{,}5^{3x+2}-x^3$$
   $$y’=3\cdot 0{,}5^{3x+2}\ln 0{,}5-3x^2.$$

   д) $$y=3x\cdot 0{,}1^{-3x}$$
   $$y’=3\cdot 0{,}1^{-3x}-3x\cdot 3\cdot 0{,}1^{-3x}\ln 0{,}1$$
   $$y’=3\cdot 0{,}1^{-3x}(1-3x\ln 0{,}1).$$

   е) $$y=\frac{3-5x}{1{,}2^x}$$
   $$y’=\frac{-5\cdot 1{,}2^x-(3-5x)\cdot 1{,}2^x\ln 1{,}2}{1{,}2^{2x}}$$
   $$y’=\frac{-5-(3-5x)\ln 1{,}2}{1{,}2^x}.$$

2. Так как на рисунке 71 даны графики производных $$y=f'(x),\ y=g'(x),\ y=h'(x),$$ то:

   если $$f'(x)>0,$$ функция возрастает; если $$f'(x)<0,$$ функция убывает.

   По графикам получаем:

   1. а) $$[-3;-1]$$ — $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ убывает;
   2. б) $$[1;3]$$ — $$f(x)$$ убывает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ возрастает;
   3. в) $$[0;2]$$ — $$f(x)$$ убывает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ возрастает;
   4. г) $$[-2;0]$$ — $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ убывает;
   5. д) $$[3;5]$$ — $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ убывает, $$h(x)$$ убывает;
   6. е) $$[-6;-3]$$ — $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ убывает, $$h(x)$$ возрастает.

Ответ

а) $$y’=2\cdot 3^{2x-1}\ln 3+4x^3$$;
б) $$y’=-2\cdot 10^{2x}(1+x\ln 10)$$;
в) $$y’=\frac{0{,}8^x\bigl(\ln 0{,}8\,(4x-3)-4\bigr)}{(4x-3)^2}$$;
г) $$y’=3\cdot 0{,}5^{3x+2}\ln 0{,}5-3x^2$$;
д) $$y’=3\cdot 0{,}1^{-3x}(1-3x\ln 0{,}1)$$;
е) $$y’=\frac{-5-(3-5x)\ln 1{,}2}{1{,}2^x}$$.

На промежутках:
а) $$f$$ возрастает, $$g$$ возрастает, $$h$$ убывает;
б) $$f$$ убывает, $$g$$ возрастает, $$h$$ возрастает;
в) $$f$$ убывает, $$g$$ возрастает, $$h$$ возрастает;
г) $$f$$ возрастает, $$g$$ возрастает, $$h$$ убывает;
д) $$f$$ возрастает, $$g$$ убывает, $$h$$ убывает;
е) $$f$$ возрастает, $$g$$ убывает, $$h$$ возрастает.