Упр.15.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите производную данной функции: а) $$y=4^x$$; в) $$y=0{,}2^{x-4}$$; д) $$y=2^x$$; б) $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}$$; г) $$y=1{,}5^{x+5}$$; е) $$y=\left(\frac{1}{6}\right)^{-x}$$.
- Задание учебника 2022 года. На рисунке 70 изображён график производной функции $$y=f(x)$$. Укажите, на каком из данных промежутков функция $$y=f(x)$$ возрастает, а на каком убывает: а) $$[-10;-8]$$ и $$[-2;2]$$; г) $$[-3;0]$$ и $$[9;11]$$; б) $$[0;3]$$ и $$[8;9]$$; д) $$[-16;-12]$$ и $$[4;7]$$; в) $$[-7;-4]$$ и $$[5;6]$$; е) $$[12;15]$$ и $$[-1;3]$$.
Для показательной функции $$y=a^{u(x)}$$ используем правило:
$$\left(a^{u(x)}\right)’=a^{u(x)}\ln a \cdot u'(x).$$
$$y=4^x$$
$$y’=4^x\ln 4.$$
$$y=\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}$$
$$y’=2\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}\ln\frac{2}{3}.$$
$$y=0{,}2^{\,x-4}$$
$$y’=0{,}2^{\,x-4}\ln 0{,}2.$$
$$y=1{,}5^{\,x+5}$$
$$y’=1{,}5^{\,x+5}\ln 1{,}5.$$
$$y=2^x$$
$$y’=2^x\ln 2.$$
$$y=\left(\frac{1}{6}\right)^{-x}$$
$$y’=-\left(\frac{1}{6}\right)^{-x}\ln\frac{1}{6}.$$
Если дана функция $$y=f(x)$$ и известен график её производной $$y=f'(x)$$, то:
- на тех промежутках, где $$f'(x)>0$$, функция $$f(x)$$ возрастает;
- на тех промежутках, где $$f'(x)<0$$, функция $$f(x)$$ убывает.
а) $$[-10;-8]$$ — возрастает, $$[-2;2]$$ — убывает;
б) $$[0;3]$$ — убывает, $$[8;9]$$ — возрастает;
в) $$[-7;-4]$$ — возрастает, $$[5;6]$$ — убывает;
г) $$[-3;0]$$ — убывает, $$[9;11]$$ — возрастает;
д) $$[-16;-12]$$ — возрастает, $$[4;7]$$ — убывает;
е) $$[12;15]$$ — возрастает, $$[-1;3]$$ — убывает.
Ответ
1) $$y’=4^x\ln 4;$$ $$y’=2\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}\ln\frac{2}{3};$$ $$y’=0{,}2^{\,x-4}\ln 0{,}2;$$ $$y’=1{,}5^{\,x+5}\ln 1{,}5;$$ $$y’=2^x\ln 2;$$ $$y’=-\left(\frac{1}{6}\right)^{-x}\ln\frac{1}{6}.$$
2) а) возрастает на $$[-10;-8]$$, убывает на $$[-2;2]$$; б) убывает на $$[0;3]$$, возрастает на $$[8;9]$$; в) возрастает на $$[-7;-4]$$, убывает на $$[5;6]$$; г) убывает на $$[-3;0]$$, возрастает на $$[9;11]$$; д) возрастает на $$[-16;-12]$$, убывает на $$[4;7]$$; е) возрастает на $$[12;15]$$, убывает на $$[-1;3]$$.
