Упр.15.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Найдите производную данной функции:
а) $$y=e^x\cos(2x)$$;
б) $$y=e^{1-6x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$;
в) $$y=e^{2{,}5x}\operatorname{tg}(-0{,}4x)$$;
г) $$y=e^{-x}\sin(3x)$$;
д) $$y=e^{5x+3}\cos\left(\frac{x}{3}\right)$$;
е) $$y=e^{2x}\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{5}\right)$$.
Задание учебника 2022 года. На рисунке 69 изображён график производной функции $$y=f(x)$$. Определите, верным или неверным является высказывание:
а) функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$[-6;-3]$$;
б) функция $$y=f(x)$$ убывает на $$[7;+\?)$$;
в) функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$[-2;5]$$;
г) функция $$y=f(x)$$ убывает на $$[-10;-3]$$;
д) функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$(-?;-8]$$;
е) функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$(0;6)$$.
Найдём производные данных функций по правилам произведения и цепочки:
- $$y=e^x\cos 2x$$
$$y’ = e^x\cos 2x — 2e^x\sin 2x = e^x(\cos 2x — 2\sin 2x).$$ - $$y=e^{1-6x}\sin \frac{x}{2}$$
$$y’=-6e^{1-6x}\sin \frac{x}{2}+\frac12 e^{1-6x}\cos \frac{x}{2}$$
$$y’=e^{1-6x}\left(\frac12\cos \frac{x}{2}-6\sin \frac{x}{2}\right).$$ - $$y=e^{2,5x}\tg(-0,4x)$$
$$y’=2,5e^{2,5x}\tg(-0,4x)-0,4\,\frac{e^{2,5x}}{\cos^2(-0,4x)}$$
$$y’=-e^{2,5x}\left(2,5\,\tg 0,4x+\frac{0,4}{\cos^2 0,4x}\right).$$ - $$y=e^{-x}\sin 3x$$
$$y’=-e^{-x}\sin 3x+3e^{-x}\cos 3x$$
$$y’=e^{-x}(3\cos 3x-\sin 3x).$$ - $$y=e^{5x+3}\cos \frac{x}{3}$$
$$y’=5e^{5x+3}\cos \frac{x}{3}-\frac13 e^{5x+3}\sin \frac{x}{3}$$
$$y’=e^{5x+3}\left(5\cos \frac{x}{3}-\frac13\sin \frac{x}{3}\right).$$ - $$y=e^{2x}\ctg \frac{x}{5}$$
$$y’=2e^{2x}\ctg \frac{x}{5}-\frac{e^{2x}}{5\sin^2 \frac{x}{5}}$$
$$y’=e^{2x}\left(2\ctg \frac{x}{5}-\frac{1}{5\sin^2 \frac{x}{5}}\right).$$
По графику производной $$y=f'(x)$$ знак производной на указанных промежутках такой:
- на $$[-6;-3]$$ производная положительна, значит функция возрастает;
- на $$[7;+\infty)$$ производная отрицательна, значит функция убывает;
- на $$[-2;5]$$ производная не всюду положительна, значит функция не возрастает на всём промежутке;
- на $$[-10;-3]$$ производная не всюду отрицательна, значит функция не убывает на всём промежутке;
- на $$(-\infty;-8]$$ производная не всюду положительна, значит функция не возрастает на всём промежутке;
- на $$(0;6)$$ производная не всюду положительна, значит функция не возрастает на всём промежутке.
Ответ
а) $$y’=e^x(\cos 2x-2\sin 2x)$$
б) $$y’=e^{1-6x}\left(\frac12\cos \frac{x}{2}-6\sin \frac{x}{2}\right)$$
в) $$y’=-e^{2,5x}\left(2,5\,\tg 0,4x+\frac{0,4}{\cos^2 0,4x}\right)$$
г) $$y’=e^{-x}(3\cos 3x-\sin 3x)$$
д) $$y’=e^{5x+3}\left(5\cos \frac{x}{3}-\frac13\sin \frac{x}{3}\right)$$
е) $$y’=e^{2x}\left(2\ctg \frac{x}{5}-\frac{1}{5\sin^2 \frac{x}{5}}\right)$$
По графику: а) верно; б) верно; в) неверно; г) неверно; д) неверно; е) неверно.
