Упр.15.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=e^xcos(2x); г) y=e^(-x)sin(3x);
б) y=e^(1-6x)sin(x/2); д) y=e^(5x+3)cos(x/3);
в) y=e^(2,5x)tg(-0,4x); е) y=e^(2x)ctg(x/5). На рисунке 69 изображён график производной функции у=f(x). Определите, верным или неверным является высказывание:
а) функция y=f(x) возрастает на [—6; —3];
б) функция y=f(x) убывает на [7; +?);
в) функция y=f(x) возрастает на [—2; 5];
г) функция y=f(x) убывает на [—10; —3];
д) функция y=f(x) возрастает на (-?; —8];
е) функция y=f(x) возрастает на (0; 6).

Подробный ответ

Найдём производные данных функций по правилам произведения и цепочки:

$$y=e^x\cos 2x$$
$$ y’ = e^x\cos 2x — 2e^x\sin 2x = e^x(\cos 2x — 2\sin 2x). $$
$$y=e^{1-6x}\sin \frac{x}{2}$$
$$ y’=-6e^{1-6x}\sin \frac{x}{2}+\frac12 e^{1-6x}\cos \frac{x}{2} $$
$$ y’=e^{1-6x}\left(\frac12\cos \frac{x}{2}-6\sin \frac{x}{2}\right). $$
$$y=e^{2,5x}\tg(-0,4x)$$
$$ y’=2,5e^{2,5x}\tg(-0,4x)-0,4\,\frac{e^{2,5x}}{\cos^2(-0,4x)} $$
$$ y’=-e^{2,5x}\left(2,5\,\tg 0,4x+\frac{0,4}{\cos^2 0,4x}\right). $$
$$y=e^{-x}\sin 3x$$
$$ y’=-e^{-x}\sin 3x+3e^{-x}\cos 3x $$
$$ y’=e^{-x}(3\cos 3x-\sin 3x). $$
$$y=e^{5x+3}\cos \frac{x}{3}$$
$$ y’=5e^{5x+3}\cos \frac{x}{3}-\frac13 e^{5x+3}\sin \frac{x}{3} $$
$$ y’=e^{5x+3}\left(5\cos \frac{x}{3}-\frac13\sin \frac{x}{3}\right). $$
$$y=e^{2x}\ctg \frac{x}{5}$$
$$ y’=2e^{2x}\ctg \frac{x}{5}-\frac{e^{2x}}{5\sin^2 \frac{x}{5}} $$
$$ y’=e^{2x}\left(2\ctg \frac{x}{5}-\frac{1}{5\sin^2 \frac{x}{5}}\right). $$

По графику производной $y=f'(x)$ знак производной на указанных промежутках такой:

на $[-6;-3]$ производная положительна, значит функция возрастает;
на $[7;+\infty)$ производная отрицательна, значит функция убывает;
на $[-2;5]$ производная не всюду положительна, значит функция не возрастает на всём промежутке;
на $[-10;-3]$ производная не всюду отрицательна, значит функция не убывает на всём промежутке;
на $(-\infty;-8]$ производная не всюду положительна, значит функция не возрастает на всём промежутке;
на $(0;6)$ производная не всюду положительна, значит функция не возрастает на всём промежутке.