Упр.15.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=(2x-9)e^(-x); г) y=(7-4x)e^x;
б) y=e^(x-1)(0,2x+1)^5; д) y=(3x+4)^4e^(x+6);
в) y=e^(2x-1)/x^3; е) y=e^(4-3x)/x^4. На рисунке 68 изображён график производной функции y=f(x). Определите, верным или неверным является высказывание:
а) функция y=f(x) возрастает на (-?; -4];
б) функция y=f(x) возрастает на [-1; +?);
в) функция y=f(x) убывает на [-3; 0];
г) функция y=f(x) возрастает на [1; +?);
д) функция y=f(x) убывает на (-?; -1];
е) функция y=f(x) убывает на [—1; 1].
Найдём производные функций.
а) $$y=(2x-9)e^{-x}$$
$$y’ = 2e^{-x} + (2x-9)(-e^{-x})$$
$$y’ = e^{-x}(2-2x+9)$$
$$y’ = e^{-x}(11-2x)$$б) $$y=e^{x-1}(0{,}2x+1)^5$$
$$y’ = e^{x-1}(0{,}2x+1)^5 + e^{x-1}\cdot 5(0{,}2x+1)^4\cdot 0{,}2$$
$$y’ = e^{x-1}(0{,}2x+1)^4\bigl((0{,}2x+1)+1\bigr)$$
$$y’ = e^{x-1}(0{,}2x+2)(0{,}2x+1)^4$$в) $$y=\dfrac{e^{2x-1}}{x^3}$$
$$y’=\dfrac{2e^{2x-1}\cdot x^3-e^{2x-1}\cdot 3x^2}{x^6}$$
$$y’=\dfrac{e^{2x-1}x^2(2x-3)}{x^6}$$
$$y’=\dfrac{e^{2x-1}(2x-3)}{x^4}$$г) $$y=(7-4x)e^x$$
$$y’=-4e^x+(7-4x)e^x$$
$$y’=e^x(3-4x)$$д) $$y=(3x+4)^4e^{x+6}$$
$$y’=12(3x+4)^3e^{x+6}+(3x+4)^4e^{x+6}$$
$$y’=e^{x+6}(3x+4)^3\bigl(12+3x+4\bigr)$$
$$y’=e^{x+6}(3x+14)(3x+4)^3$$е) $$y=\dfrac{e^{4-3x}}{x^4}$$
$$y’=\dfrac{-3e^{4-3x}\cdot x^4-e^{4-3x}\cdot 4x^3}{x^8}$$
$$y’=\dfrac{e^{4-3x}x^3(-3x-4)}{x^8}$$
$$y’=-\dfrac{e^{4-3x}(3x+4)}{x^5}$$По графику производной $$y=f'(x)$$ определяем промежутки возрастания и убывания функции $$y=f(x)$$:
- если $$f'(x)>0$$, то функция возрастает;
- если $$f'(x)<0$$, то функция убывает.
а) функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;\,-4]$$ — верно.
б) функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$ — неверно.
в) функция $$y=f(x)$$ убывает на $$[-3;\,0]$$ — верно.
г) функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$[1;\,+\infty)$$ — верно.
д) функция $$y=f(x)$$ убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ — неверно.
е) функция $$y=f(x)$$ убывает на $$[-1;\,1]$$ — верно.
Ответ
а) $$y’=e^{-x}(11-2x)$$; б) $$y’=e^{x-1}(0{,}2x+2)(0{,}2x+1)^4$$; в) $$y’=\dfrac{e^{2x-1}(2x-3)}{x^4}$$; г) $$y’=e^x(3-4x)$$; д) $$y’=e^{x+6}(3x+14)(3x+4)^3$$; е) $$y’=-\dfrac{e^{4-3x}(3x+4)}{x^5}$$.
а) верно; б) неверно; в) верно; г) верно; д) неверно; е) верно.
