Упр.15.37 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (1/2)sin(x)cos(x)=(3p-2)/5; б) cos^2(x/2)=p^2-8?

а) Преобразуем уравнение:

$$\frac12 \sin x \cos x=\frac{3p-2}{5}$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$\sin x \cos x=\frac{2(3p-2)}{5}$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\frac12 \sin 2x=\frac{3p-2}{5}$$

$$\sin 2x=\frac{12p-8}{5}$$

Чтобы уравнение имело решения, правая часть должна принадлежать отрезку $$[-1;1]$$:

$$-1\le \frac{12p-8}{5}\le 1$$

$$-5\le 12p-8\le 5$$

$$3\le 12p\le 13$$

$$\frac14\le p\le \frac{13}{12}$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\cos^2\frac{x}{2}=p^2-8$$

Так как $$0\le \cos^2\frac{x}{2}\le 1$$, то должно выполняться:

$$0\le p^2-8\le 1$$

$$8\le p^2\le 9$$

$$2\sqrt2\le |p|\le 3$$

Отсюда:

$$p\in[-3;-2\sqrt2]\cup[2\sqrt2;3]$$

Ответ

а) $$\left[\frac14;\frac{13}{12}\right]$$; б) $$[-3;-2\sqrt2]\cup[2\sqrt2;3]$$.