Упр.15.36 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: При каких значениях k прямая y=kx не имеет общих точек с графиком функции y=(2-|x|)/(x^2-2|x|)?

Преобразуем заданную функцию:

$$y=\frac{2-|x|}{x^2-2|x|}=\frac{2-|x|}{|x|(|x|-2)}=-\frac{1}{|x|}.$$

Область определения: $$|x|(|x|-2)\ne 0,$$ значит $$x\ne 0,\quad x\ne \pm 2.$$

При всех допустимых $$x$$ имеем $$y=-\frac{1}{|x|}<0.$$

Найдём, какие значения принимает функция:

$$\lim_{x\to 0,\ x\ne 0}\left(-\frac{1}{|x|}\right)=-\infty,\qquad \lim_{x\to \infty}\left(-\frac{1}{|x|}\right)=0.$$

Следовательно, множество значений функции:

$$y\in(-\infty,0).$$

Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат. Чтобы она не имела общих точек с графиком функции, она не должна пересекать его ни при каких допустимых $$x$$.

Если $$k=0$$, то прямая имеет вид $$y=0$$, а график функции всегда лежит ниже оси $$Ox$$, значит общих точек нет.

Если $$k\ne 0$$, то уравнение пересечения

$$kx=-\frac{1}{|x|}$$

имеет решения, так как левая часть принимает как положительные, так и отрицательные значения при разных $$x$$, а правая часть всегда отрицательна. В частности, при подходящих $$x$$ пересечение существует.

Кроме того, из вида графика видно, что при $$k=\pm \frac14$$ прямая касается ветвей графика в точках, но общие точки всё равно есть. Поэтому единственное значение, при котором общих точек нет, — это $$k=0$$.

Ответ

$$k=0$$