Упр.15.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) При каком значении параметра p прямая y = 5x + p + 3 является касательной к графику функции y = ln(5x + 4)? Решите неравенство:
а) 3·(1/3)^(2x)-13·(1/3)^x+4?0;
б) 3·25^x-8·15^x+5·9^x?0;
в) 4·(1/4)^(2x)-13·(1/4)^x+3?0;
г) 4·16^x-11·28^x+7·49^x?0.
а) Прямая $$y=2x-1+p$$ является касательной к графику $$y=\ln(2x-1)$$, если в точке касания их угловые коэффициенты равны.
Найдём производную:
$$y’=\frac{2}{2x-1}.$$
Приравниваем к угловому коэффициенту прямой $$k=2$$:
$$\frac{2}{2x-1}=2,$$
$$2x-1=1,$$
$$x=1.$$
Тогда в точке касания:
$$y=\ln(2\cdot 1-1)=\ln 1=0.$$
Подставим точку $$\left(1,0\right)$$ в уравнение прямой:
$$0=2\cdot 1-1+p,$$
$$p=-1.$$
б) Прямая $$y=5x+p+3$$ касается графика $$y=\ln(5x+4)$$.
Найдём производную:
$$y’=\frac{5}{5x+4}.$$
Приравниваем к угловому коэффициенту прямой $$k=5$$:
$$\frac{5}{5x+4}=5,$$
$$5x+4=1,$$
$$x=-\frac{3}{5}.$$
Тогда
$$y=\ln(5\cdot(-\frac{3}{5})+4)=\ln 1=0.$$
Подставим точку $$\left(-\frac{3}{5},0\right)$$ в уравнение прямой:
$$0=5\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)+p+3,$$
$$p=0.$$
а) $$3\cdot\left(\frac13\right)^{2x}-13\cdot\left(\frac13\right)^x+4\le 0.$$
Пусть $$y=\left(\frac13\right)^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:
$$3y^2-13y+4\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot 4=121,$$
$$y_1=\frac{13-11}{6}=\frac13,\qquad y_2=\frac{13+11}{6}=4.$$
Тогда
$$\left(y-\frac13\right)(y-4)\le 0,$$
$$\frac13\le y\le 4.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\left(\frac13\right)^x\ge \frac13 \Rightarrow x\le 1,$$
$$\left(\frac13\right)^x\le 4 \Rightarrow x\ge \log_{\frac13}4.$$
Следовательно,
$$x\in\left[\log_{\frac13}4;\,1\right].$$
б) $$3\cdot 25^x-8\cdot 15^x+5\cdot 9^x\ge 0.$$
Пусть $$y=\left(\frac53\right)^x$$. Тогда
$$25^x=\left(\frac53\right)^{2x}=y^2,\qquad 15^x=3^x\left(\frac53\right)^x,$$
и после приведения получаем квадратное неравенство:
$$3y^2-8y+5\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$\left(y-1\right)\left(y-\frac53\right)\ge 0.$$
Отсюда
$$y\le 1 \quad \text{или} \quad y\ge \frac53.$$
Так как $$y=\left(\frac53\right)^x$$ и основание больше 1, то
$$\left(\frac53\right)^x\le 1 \Rightarrow x\le 0,$$
$$\left(\frac53\right)^x\ge \frac53 \Rightarrow x\ge 1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty).$$
в) $$4\cdot\left(\frac14\right)^{2x}-13\cdot\left(\frac14\right)^x+3\ge 0.$$
Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x$$, тогда
$$4y^2-13y+3\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 3=121,$$
$$y_1=\frac{13-11}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{13+11}{8}=3.$$
Тогда
$$\left(y-\frac14\right)(y-3)\ge 0,$$
$$y\le \frac14 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\left(\frac14\right)^x\le \frac14 \Rightarrow x\ge 1,$$
$$\left(\frac14\right)^x\ge 3 \Rightarrow x\le \log_{\frac14}3.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;\log_{\frac14}3]\cup[1;+\infty).$$
г) $$4\cdot 16^x-11\cdot 28^x+7\cdot 49^x\le 0.$$
Пусть $$y=\left(\frac47\right)^x$$. Тогда
$$4y^2-11y+7\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=11^2-4\cdot 4\cdot 7=9,$$
$$y_1=\frac{11-3}{8}=1,\qquad y_2=\frac{11+3}{8}=\frac74.$$
Тогда
$$\left(y-1\right)\left(y-\frac74\right)\le 0,$$
$$1\le y\le \frac74.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\left(\frac47\right)^x\ge 1 \Rightarrow x\le 0,$$
$$\left(\frac47\right)^x\le \frac74 \Rightarrow x\ge -1.$$
Итак,
$$x\in[-1;0].$$
Ответ
а) $$p=-1$$;
б) $$p=0$$;
а) $$x\in\left[\log_{\frac13}4;\,1\right]$$;
б) $$x\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$;
в) $$x\in(-\infty;\log_{\frac14}3]\cup[1;+\infty)$$;
г) $$x\in[-1;0]$$.
