Упр.15.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=f(x)$$, которая проходит через начало координат, если:
а) $$f(x)=\ln(x)+1$$;
б) $$f(x)=\ln^2(x)$$.

Решите уравнение:
а) $$\lg(x+\sqrt{5})=-\lg(x-\sqrt{5})$$;
б) $$\log_2(x-6)+2\log_2\sqrt{x-7}=1$$;
в) $$\left(\log_5(x)\right)^2+5=12\log_5\sqrt{x}$$;
г) $$\lg(x-\sqrt{7})=-\lg(x+\sqrt{7})$$;
д) $$\log_5(5-x)+2\log_5\sqrt{9-x}=1$$;
е) $$4\log_3\sqrt{x}=\left(\log_3(x)\right)^2-3$$.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\ln x+1$$
Пусть касательная проходит через точку $$O(0;0)$$ и касается графика в точке $$x=a$$.
Тогда
$$f(a)=\ln a+1,\qquad f'(a)=\frac1a.$$
Уравнение касательной:
$$y=\ln a+1+\frac1a(x-a)=\frac1a x+\ln a.$$
Так как она проходит через начало координат, то
$$0=\frac1a\cdot 0+\ln a,\qquad \ln a=0,\qquad a=1.$$
Тогда
$$y=x.$$
б) $$f(x)=\ln^2 x$$
Пусть касательная проходит через точку $$O(0;0)$$ и касается графика в точке $$x=a$$.
$$f(a)=\ln^2 a,\qquad f'(a)=\frac{2\ln a}{a}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\ln^2 a+\frac{2\ln a}{a}(x-a)=\frac{2\ln a}{a}x+\ln^2 a-2\ln a.$$
Так как касательная проходит через начало координат, то
$$0=\ln^2 a-2\ln a,\qquad \ln a(\ln a-2)=0.$$
Отсюда
$$\ln a=0 \quad \text{или} \quad \ln a=2.$$
1) Если $$\ln a=0$$, то $$a=1$$ и
$$y=0.$$
2) Если $$\ln a=2$$, то $$a=e^2$$ и
$$y=\frac{2\cdot 2}{e^2}x+\;4-4=\frac{4}{e^2}x.$$
а) $$\lg(x+\sqrt5)=-\lg(x-\sqrt5)$$
$$\lg(x+\sqrt5)=\lg\frac1{x-\sqrt5}.$$
$$x+\sqrt5=\frac1{x-\sqrt5},$$
$$(x+\sqrt5)(x-\sqrt5)=1,$$
$$x^2-5=1,\qquad x^2=6,\qquad x=\pm\sqrt6.$$
ОДЗ:
$$x-\sqrt5>0 \;\Rightarrow\; x>\sqrt5.$$
Подходит только $$x=\sqrt6$$.
б) $$\log_2(x-6)+2\log_2\sqrt{x-7}=1$$
$$\log_2(x-6)+\log_2(x-7)=1,$$
$$\log_2\bigl((x-6)(x-7)\bigr)=\log_2 2,$$
$$(x-6)(x-7)=2,$$
$$x^2-13x+40=0,$$
$$(x-5)(x-8)=0,\qquad x=5 \text{ или } x=8.$$
ОДЗ:
$$x-6>0,\qquad x-7>0 \;\Rightarrow\; x>7.$$
Подходит только $$x=8$$.
в) $$\bigl(\log_5 x\bigr)^2+5=12\log_5\sqrt{x}$$
$$\log_5\sqrt{x}=\frac12\log_5 x.$$
Пусть $$y=\log_5 x$$. Тогда
$$y^2+5=6y,$$
$$y^2-6y+5=0,$$
$$(y-1)(y-5)=0,$$
$$y=1 \text{ или } y=5.$$
Тогда
$$x=5^1=5,\qquad x=5^5=3125.$$
г) $$\lg(x-\sqrt7)=-\lg(x+\sqrt7)$$
$$\lg(x-\sqrt7)=\lg\frac1{x+\sqrt7},$$
$$x-\sqrt7=\frac1{x+\sqrt7},$$
$$(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)=1,$$
$$x^2-7=1,\qquad x^2=8,\qquad x=\pm 2\sqrt2.$$
ОДЗ:
$$x-\sqrt7>0 \;\Rightarrow\; x>\sqrt7.$$
Подходит только $$x=2\sqrt2$$.
д) $$\log_5(5-x)+2\log_5\sqrt{9-x}=1$$
$$\log_5(5-x)+\log_5(9-x)=1,$$
$$\log_5\bigl((5-x)(9-x)\bigr)=\log_5 5,$$
$$(5-x)(9-x)=5,$$
$$x^2-14x+40=0,$$
$$(x-4)(x-10)=0,\qquad x=4 \text{ или } x=10.$$
ОДЗ:
$$5-x>0,\qquad 9-x>0 \;\Rightarrow\; x<5.$$
Подходит только $$x=4$$.
е) $$4\log_3\sqrt{x}=\bigl(\log_3 x\bigr)^2-3$$
$$\log_3\sqrt{x}=\frac12\log_3 x.$$
Пусть $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$2y=y^2-3,$$
$$y^2-2y-3=0,$$
$$(y-3)(y+1)=0,$$
$$y=3 \text{ или } y=-1.$$
Тогда
$$x=3^3=27,\qquad x=3^{-1}=\frac13.$$