Упр.15.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=ln(x)+1; б) f(x)=ln^2(x). Решите уравнение:
а) lg(x+v5)=-lg(x-v5);
б) log_2(x-6)+2log_2(v(x-7))=1;
в) (log_5(x))^2+5=12log_5(vx);
г) lg(x-v7)=-lg(x+v7);
д) log_5(5-x)+2log_5(v(9-x))=1;
е) 4log_3(vx)=(log_3(x))^2-3.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\ln x+1$$
Пусть касательная проходит через точку $$O(0;0)$$ и касается графика в точке $$x=a$$.
Тогда
$$ f(a)=\ln a+1,\qquad f'(a)=\frac1a. $$
Уравнение касательной:
$$ y=\ln a+1+\frac1a(x-a)=\frac1a x+\ln a. $$
Так как она проходит через начало координат, то
$$ 0=\frac1a\cdot 0+\ln a,\qquad \ln a=0,\qquad a=1. $$
Тогда
$$ y=x. $$
б) $$f(x)=\ln^2 x$$
Пусть касательная проходит через точку $$O(0;0)$$ и касается графика в точке $$x=a$$.
$$ f(a)=\ln^2 a,\qquad f'(a)=\frac{2\ln a}{a}. $$
Уравнение касательной:
$$ y=\ln^2 a+\frac{2\ln a}{a}(x-a)=\frac{2\ln a}{a}x+\ln^2 a-2\ln a. $$
Так как касательная проходит через начало координат, то
$$ 0=\ln^2 a-2\ln a,\qquad \ln a(\ln a-2)=0. $$
Отсюда
$$ \ln a=0 \quad \text{или} \quad \ln a=2. $$
1) Если $$\ln a=0$$, то $$a=1$$ и
$$ y=0. $$
2) Если $$\ln a=2$$, то $$a=e^2$$ и
$$ y=\frac{2\cdot 2}{e^2}x+\;4-4=\frac{4}{e^2}x. $$
а) $$\lg(x+\sqrt5)=-\lg(x-\sqrt5)$$
$$ \lg(x+\sqrt5)=\lg\frac1{x-\sqrt5}. $$
$$ x+\sqrt5=\frac1{x-\sqrt5}, $$
$$ (x+\sqrt5)(x-\sqrt5)=1, $$
$$ x^2-5=1,\qquad x^2=6,\qquad x=\pm\sqrt6. $$
ОДЗ:
$$ x-\sqrt5>0 \;\Rightarrow\; x>\sqrt5. $$
Подходит только $$x=\sqrt6$$.
б) $$\log_2(x-6)+2\log_2\sqrt{x-7}=1$$
$$ \log_2(x-6)+\log_2(x-7)=1, $$
$$ \log_2\bigl((x-6)(x-7)\bigr)=\log_2 2, $$
$$ (x-6)(x-7)=2, $$
$$ x^2-13x+40=0, $$
$$ (x-5)(x-8)=0,\qquad x=5 \text{ или } x=8. $$
ОДЗ:
$$ x-6>0,\qquad x-7>0 \;\Rightarrow\; x>7. $$
Подходит только $$x=8$$.
в) $$\bigl(\log_5 x\bigr)^2+5=12\log_5\sqrt{x}$$
$$ \log_5\sqrt{x}=\frac12\log_5 x. $$
Пусть $$y=\log_5 x$$. Тогда
$$ y^2+5=6y, $$
$$ y^2-6y+5=0, $$
$$ (y-1)(y-5)=0, $$
$$ y=1 \text{ или } y=5. $$
Тогда
$$ x=5^1=5,\qquad x=5^5=3125. $$
г) $$\lg(x-\sqrt7)=-\lg(x+\sqrt7)$$
$$ \lg(x-\sqrt7)=\lg\frac1{x+\sqrt7}, $$
$$ x-\sqrt7=\frac1{x+\sqrt7}, $$
$$ (x-\sqrt7)(x+\sqrt7)=1, $$
$$ x^2-7=1,\qquad x^2=8,\qquad x=\pm 2\sqrt2. $$
ОДЗ:
$$ x-\sqrt7>0 \;\Rightarrow\; x>\sqrt7. $$
Подходит только $$x=2\sqrt2$$.
д) $$\log_5(5-x)+2\log_5\sqrt{9-x}=1$$
$$ \log_5(5-x)+\log_5(9-x)=1, $$
$$ \log_5\bigl((5-x)(9-x)\bigr)=\log_5 5, $$
$$ (5-x)(9-x)=5, $$
$$ x^2-14x+40=0, $$
$$ (x-4)(x-10)=0,\qquad x=4 \text{ или } x=10. $$
ОДЗ:
$$ 5-x>0,\qquad 9-x>0 \;\Rightarrow\; x<5. $$
Подходит только $$x=4$$.
е) $$4\log_3\sqrt{x}=\bigl(\log_3 x\bigr)^2-3$$
$$ \log_3\sqrt{x}=\frac12\log_3 x. $$
Пусть $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$ 2y=y^2-3, $$
$$ y^2-2y-3=0, $$
$$ (y-3)(y+1)=0, $$
$$ y=3 \text{ или } y=-1. $$
Тогда
$$ x=3^3=27,\qquad x=3^{-1}=\frac13. $$