Упр.15.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) При каком значении a касательная к графику функции y = ln(1+x^2) в точке x = a параллельна прямой, проходящей через точки (5; 1) и (-5; -7)? Дана функция y=f(x), где f(x)={-(x+?)^(1/3), если x?-?; sin(x), если -?
Найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $$ (2;3) $$ и $$ (-1;4) $$:
$$ k=\frac{4-3}{-1-2}=\frac{1}{-3}=-\frac13. $$
Касательная параллельна этой прямой, значит её угловой коэффициент тоже равен $$-\frac13$$.
а) Для функции $$y=x-\ln(1+x)$$ имеем
$$ y’=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{x+1}. $$
Тогда
$$ y'(a)=\frac{a}{a+1}=-\frac13. $$
Решаем уравнение:
$$ 3a=-(a+1), $$
$$ 4a=-1, $$
$$ a=-\frac14. $$
б) Найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $$ (5;1) $$ и $$ (-5;-7) $$:
$$ k=\frac{-7-1}{-5-5}=\frac{-8}{-10}=\frac45. $$
Для функции $$y=\ln(1+x^2)$$ имеем
$$ y’=\frac{2x}{1+x^2}. $$
Тогда
$$ y'(a)=\frac{2a}{1+a^2}=\frac45. $$
Решаем уравнение:
$$ 10a=4a^2+4, $$
$$ 4a^2-10a+4=0, $$
$$ 2a^2-5a+2=0. $$
Дискриминант:
$$ D=25-16=9. $$
Тогда
$$ a_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}, $$
$$ a_1=\frac12,\quad a_2=2. $$
Ответ
а) $$-\frac14$$; б) $$\frac12,\ 2$$.
