Упр.15.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года
а) Докажите, что функция $$y=\frac{1}{2}\ln\left(\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right)$$ удовлетворяет соотношению $$2y’\sin x=1$$.
б) Докажите, что функция $$y=v\ln(x)$$ удовлетворяет соотношению $$2xyy’=1$$. - Задание учебника 2022 года
Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) $$6\sin\left(\frac{?x}{2}\right)+4\cos\left(\frac{?x}{2}\right)+17x=32-7x^3-2x^5$$;
б) $$4\sin\left(\frac{?x}{2}\right)-3\cos(?x)-20x=x^5+5x^3-19$$.
а) $$y=\frac12\ln\tg\frac{x}{2}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac12\cdot \frac{1}{\tg\frac{x}{2}}\cdot \left(\tg\frac{x}{2}\right)’ =\frac12\cdot \frac{1}{\tg\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}$$
$$y’=\frac{1}{4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} =\frac{1}{2\sin x}$$
Тогда
$$2y’\sin x=2\cdot \frac{1}{2\sin x}\cdot \sin x=1.$$
б) $$y=\sqrt{\ln x}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(\ln x)’}{2\sqrt{\ln x}} =\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}} =\frac{1}{2xy}$$
Следовательно,
$$2xyy’=2x\cdot y\cdot \frac{1}{2xy}=1.$$
Решим уравнения, используя монотонность функций.
а) $$6\sin\frac{\pi x}{2}+4\cos\frac{\pi x}{2}+17x=32-7x^3-2x^5$$
Перенесём всё в разные части:
$$f(x)=32-7x^3-2x^5,\qquad g(x)=6\sin\frac{\pi x}{2}+4\cos\frac{\pi x}{2}+17x$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, так как
$$f'(x)=-21x^2-10x^4\le 0.$$
Функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как
$$g'(x)=3\pi\cos\frac{\pi x}{2}-2\pi\sin\frac{\pi x}{2}+17>0.$$
Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=1$$:
$$f(1)=32-7-2=23, \qquad g(1)=6\sin\frac{\pi}{2}+4\cos\frac{\pi}{2}+17=23.$$
Следовательно, $$x=1$$ — единственное решение.
б) $$4\sin\frac{\pi x}{2}-3\cos\pi x-20x=x^5+5x^3-19$$
Перенесём всё в разные части:
$$f(x)=x^5+5x^3-19,\qquad g(x)=4\sin\frac{\pi x}{2}-3\cos\pi x-20x$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как
$$f'(x)=5x^4+15x^2\ge 0.$$
Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, так как
$$g'(x)=2\pi\cos\frac{\pi x}{2}+3\pi\sin\pi x-20<0.$$
Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=1$$:
$$f(1)=1+5-19=-13, \qquad g(1)=4\sin\frac{\pi}{2}-3\cos\pi-20=-13.$$
Следовательно, $$x=1$$ — единственное решение.
Ответ
а) $$2y’\sin x=1$$; б) $$2xyy’=1$$; а) $$x=1$$; б) $$x=1$$.
