Упр.15.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Докажите, что функция y = vln(x) удовлетворяет соотношению 2xyy’ = 1. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) 6sin(?x/2)+4cos(?x/2)+17x=32-7x^3-2x^5;
б) 4sin(?x/2)-3cos(?x)-20x=x^5+5x^3-19.

а) $$y=\frac12\ln\tg\frac{x}{2}$$

Найдём производную:

$$ y’=\frac12\cdot \frac{1}{\tg\frac{x}{2}}\cdot \left(\tg\frac{x}{2}\right)’ =\frac12\cdot \frac{1}{\tg\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} $$
$$ y’=\frac{1}{4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} =\frac{1}{2\sin x} $$

Тогда

$$2y’\sin x=2\cdot \frac{1}{2\sin x}\cdot \sin x=1.$$

б) $$y=\sqrt{\ln x}$$

Найдём производную:

$$ y’=\frac{(\ln x)’}{2\sqrt{\ln x}} =\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}} =\frac{1}{2xy} $$

Следовательно,

$$2xyy’=2x\cdot y\cdot \frac{1}{2xy}=1.$$

Решим уравнения, используя монотонность функций.

а) $$6\sin\frac{\pi x}{2}+4\cos\frac{\pi x}{2}+17x=32-7x^3-2x^5$$

Перенесём всё в разные части:

$$ f(x)=32-7x^3-2x^5,\qquad g(x)=6\sin\frac{\pi x}{2}+4\cos\frac{\pi x}{2}+17x $$

Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, так как

$$ f'(x)=-21x^2-10x^4\le 0. $$

Функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как

$$ g'(x)=3\pi\cos\frac{\pi x}{2}-2\pi\sin\frac{\pi x}{2}+17>0. $$

Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=1$$:

$$ f(1)=32-7-2=23, \qquad g(1)=6\sin\frac{\pi}{2}+4\cos\frac{\pi}{2}+17=23. $$

Следовательно, $$x=1$$ — единственное решение.

б) $$4\sin\frac{\pi x}{2}-3\cos\pi x-20x=x^5+5x^3-19$$

Перенесём всё в разные части:

$$ f(x)=x^5+5x^3-19,\qquad g(x)=4\sin\frac{\pi x}{2}-3\cos\pi x-20x $$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как

$$ f'(x)=5x^4+15x^2\ge 0. $$

Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, так как

$$ g'(x)=2\pi\cos\frac{\pi x}{2}+3\pi\sin\pi x-20<0. $$

Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=1$$:

$$ f(1)=1+5-19=-13, \qquad g(1)=4\sin\frac{\pi}{2}-3\cos\pi-20=-13. $$

Следовательно, $$x=1$$ — единственное решение.

Ответ

а) $$2y’\sin x=1$$; б) $$2xyy’=1$$; а) $$x=1$$; б) $$x=1$$.