Упр.15.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = (ln(x))^(1/3); б) y = ln(sin 2x);
в) y = lg(2x^5 — 3/x^4); г) y = ln((3x+2) / (2x-1));
д) y = cos(ln(3x)); е) y = arctg(lg(10x)). Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) sin(3x)-4cos(x)-11x=x^7-4;
б) 6sin(x/3)+5cos(2x)+12x=5-x^5.

1. $$y=\sqrt[3]{\ln x}=(\ln x)^{\frac13}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=\frac13(\ln x)^{-\frac23}\cdot \frac1x=\frac{1}{3x\sqrt[3]{(\ln x)^2}}.$$

2. $$y=\ln(\sin 2x)$$

   $$y’=\frac{(\sin 2x)’}{\sin 2x}=\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\ctg 2x.$$

3. $$y=\lg\left(2x^5-\frac{3}{x^4}\right)$$

   $$y’=\frac{\left(2x^5-\frac{3}{x^4}\right)’}{\left(2x^5-\frac{3}{x^4}\right)\ln 10}$$

   $$\left(2x^5-\frac{3}{x^4}\right)’=10x^4+\frac{12}{x^5}$$

   $$y’=\frac{10x^4+\frac{12}{x^5}}{\left(2x^5-\frac{3}{x^4}\right)\ln 10} =\frac{10x^9+12}{(2x^{10}-3x)\ln 10}.$$

4. $$y=\ln\frac{3x+2}{2x-1}$$

   $$y’=\frac{\left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)’}{\frac{3x+2}{2x-1}}$$

   $$\left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)’=\frac{3(2x-1)-2(3x+2)}{(2x-1)^2}=\frac{-7}{(2x-1)^2}$$

   $$y’=\frac{-7}{(2x-1)^2}\cdot \frac{2x-1}{3x+2} =-\frac{7}{(2x-1)(3x+2)}.$$

5. $$y=\cos(\ln 3x)$$

   $$y’=(\ln 3x)’\cdot(-\sin(\ln 3x))=\frac{1}{x}\cdot(-\sin(\ln 3x))$$

   $$y’=-\frac{\sin(\ln 3x)}{x}.$$

6. $$y=\arctg(\lg 10x)$$

   $$y’=\frac{(\lg 10x)’}{1+(\lg 10x)^2}$$

   $$ (\lg 10x)’=\frac{1}{x\ln 10} $$

   $$y’=\frac{1}{x\ln 10\left(1+(\lg 10x)^2\right)}.$$

7. $$\sin 3x-4\cos x-11x=x^7-4$$

   Рассмотрим функции

   $$f(x)=x^7-4,\qquad g(x)=\sin 3x-4\cos x-11x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=7x^6\ge 0,$$

   значит, $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb R$$.

   Найдём производную $$g(x)$$:

   $$g'(x)=3\cos 3x+4\sin x-11.$$

   Так как $$3\cos 3x\le 3$$ и $$4\sin x\le 4,$$ то

   $$g'(x)\le 3+4-11=-4<0,$$

   следовательно, $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb R$$.

   Уравнение $$f(x)=g(x)$$ может иметь не более одного решения. Проверим $$x=0$$:

   $$f(0)=0^7-4=-4,\qquad g(0)=\sin 0-4\cos 0-0=-4.$$

   Значит, $$x=0$$ — решение.

8. $$6\sin\frac{x}{3}+5\cos 2x+12x=5-x^5$$

   Рассмотрим функции

   $$f(x)=5-x^5,\qquad g(x)=6\sin\frac{x}{3}+5\cos 2x+12x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-5x^4\le 0,$$

   значит, $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb R$$.

   Найдём производную $$g(x)$$:

   $$g'(x)=2\cos\frac{x}{3}-10\sin 2x+12.$$

   Так как $$2\cos\frac{x}{3}\ge -2$$ и $$-10\sin 2x\ge -10,$$ то

   $$g'(x)\ge -2-10+12=0,$$

   следовательно, $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb R$$.

   Уравнение $$f(x)=g(x)$$ может иметь не более одного решения. Проверим $$x=0$$:

   $$f(0)=5-0=5,\qquad g(0)=6\sin 0+5\cos 0+0=5.$$

   Значит, $$x=0$$ — решение.

Ответ

а) $$y’=\frac{1}{3x\sqrt[3]{(\ln x)^2}}$$;
б) $$y’=2\ctg 2x$$;
в) $$y’=\frac{10x^9+12}{(2x^{10}-3x)\ln 10}$$;
г) $$y’=-\frac{7}{(2x-1)(3x+2)}$$;
д) $$y’=-\frac{\sin(\ln 3x)}{x}$$;
е) $$y’=\frac{1}{x\ln 10\left(1+(\lg 10x)^2\right)}$$;
а) $$x=0$$;
б) $$x=0$$.