Упр.15.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) g(x)=log_3(x), a=9;
б) g(x)=x^(1/3)ln(x), a=1;
в) g(x)=(x-2)log_2(x), a=2;
г) g(x)=lg(x), a=1;
д) g(x)=x^(-2)ln(x), a=1;
е) g(x)=(5x-1)log_5(x), a=1/5. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) x^5+x^3+7x-51=(37-5x)^(1/3);
б) 102-2x^5-4x^3-2x=(6+5x)^(1/4).
Уравнение касательной к графику функции $$y=g(x)$$ в точке $$x=a$$ имеет вид
$$y=g(a)+g'(a)(x-a).$$
а) $$g(x)=\log_3 x,\ a=9.$$
$$g'(x)=\frac{1}{x\ln 3}, \qquad g'(9)=\frac{1}{9\ln 3},$$
$$g(9)=\log_3 9=2.$$
Тогда
$$y=2+\frac{1}{9\ln 3}(x-9)=\frac{1}{9\ln 3}x-\frac{1}{\ln 3}+2.$$
б) $$g(x)=\sqrt[3]{x}\ln x,\ a=1.$$
$$g'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\ln x+x^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{x},$$
$$g'(1)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 0+1\cdot 1=1,\qquad g(1)=1\cdot \ln 1=0.$$
Следовательно,
$$y=0+1(x-1)=x-1.$$
в) $$g(x)=(x-2)\log_2 x,\ a=2.$$
$$g'(x)=\log_2 x+(x-2)\cdot\frac{1}{x\ln 2},$$
$$g'(2)=\log_2 2+0\cdot\frac{1}{2\ln 2}=1,\qquad g(2)=0\cdot \log_2 2=0.$$
Тогда
$$y=0+1(x-2)=x-2.$$
г) $$g(x)=\lg x,\ a=1.$$
$$g'(x)=\frac{1}{x\ln 10}, \qquad g'(1)=\frac{1}{\ln 10},$$
$$g(1)=\lg 1=0.$$
Следовательно,
$$y=\frac{1}{\ln 10}(x-1)=\frac{x-1}{\ln 10}.$$
д) $$g(x)=x^{-2}\ln x,\ a=1.$$
$$g'(x)=-2x^{-3}\ln x+x^{-2}\cdot\frac{1}{x},$$
$$g'(1)=-2\cdot 1\cdot 0+1\cdot 1=1,\qquad g(1)=1\cdot \ln 1=0.$$
Тогда
$$y=0+1(x-1)=x-1.$$
е) $$g(x)=(5x-1)\log_5 x,\ a=\frac15.$$
$$g'(x)=5\log_5 x+(5x-1)\cdot\frac{1}{x\ln 5},$$
$$g’\!\left(\frac15\right)=5\log_5\frac15+0\cdot\frac{1}{\frac15\ln 5}=-5,$$
$$g\!\left(\frac15\right)=0\cdot \log_5\frac15=0.$$
Следовательно,
$$y=0-5\left(x-\frac15\right)=1-5x.$$
а) $$x^5+x^3+7x-51=\sqrt[3]{37-5x}.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=x^5+x^3+7x-51,\qquad g(x)=\sqrt[3]{37-5x}.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, значит, уравнение имеет не более одного решения.
Проверим $$x=2$$:
$$f(2)=32+8+14-51=3,$$
$$g(2)=\sqrt[3]{37-10}=\sqrt[3]{27}=3.$$
Значит, $$x=2$$ — решение.
б) $$102-2x^5-4x^3-2x=\sqrt[4]{6+5x}.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=102-2x^5-4x^3-2x,\qquad g(x)=\sqrt[4]{6+5x}.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на области определения, поэтому уравнение имеет не более одного решения.
Проверим $$x=2$$:
$$f(2)=102-64-32-4=2,$$
$$g(2)=\sqrt[4]{6+10}=\sqrt[4]{16}=2.$$
Значит, $$x=2$$ — решение.
Ответ
а) $$y=\frac{1}{9\ln 3}x-\frac{1}{\ln 3}+2$$; б) $$y=x-1$$; в) $$y=x-2$$; г) $$y=\frac{x-1}{\ln 10}$$; д) $$y=x-1$$; е) $$y=1-5x$$; а) $$x=2$$; б) $$x=2$$.
