Упр.15.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Найдите точку графика функции y=-v3ln(x), в которой касательная образует с осью х угол ?=150°.
Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) x^3+7=17-x; г) 15-2x^3=4x-9;
б) x^5+4x^3+5x-10=0; д) x^5+6x^3+5x-12=0;
в) 18-2x^5-6x^3-10x=0; е) 10-x^5-2x^3-7x=0.
а) Для функции $$y=2e^{4-0,5x}$$ найдём производную:
$$y’ = 2e^{4-0,5x}\cdot(-0,5)=-e^{4-0,5x}.$$
Касательная образует с осью $$x$$ угол $$135^\circ$$, значит её угловой коэффициент равен
$$\tan 135^\circ=-1.$$
Тогда
$$-e^{4-0,5x}=-1,$$
$$e^{4-0,5x}=1,$$
$$4-0,5x=0,$$
$$x=8.$$
Найдём ординату точки:
$$y=2e^{4-0,5\cdot 8}=2e^0=2.$$
Точка графика: $$\left(8;2\right).$$
б) Для функции $$y=-\sqrt{3}\ln x$$ найдём производную:
$$y’=-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{x}.$$
Касательная образует с осью $$x$$ угол $$150^\circ$$, значит
$$\tan 150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Тогда
$$-\frac{\sqrt{3}}{x}=-\frac{1}{\sqrt{3}},$$
$$\frac{1}{x}=\frac{1}{3},$$
$$x=3.$$
Найдём ординату точки:
$$y=-\sqrt{3}\ln 3.$$
Точка графика: $$\left(3;-\sqrt{3}\ln 3\right).$$
Решим уравнения с помощью монотонности.
а) $$x^3+7=17-x$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x^3+7$$ и $$g(x)=17-x$$. Первая возрастает на $$\mathbb{R}$$, вторая убывает на $$\mathbb{R}$$, значит уравнение имеет не более одного решения.
Проверим $$x=2$$:
$$2^3+7=8+7=15,$$
$$17-2=15.$$
Следовательно, $$x=2$$.
б) $$x^5+4x^3+5x-10=0$$
Перепишем:
$$x^5+4x^3+5x=10.$$
Функция $$f(x)=x^5+4x^3+5x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=10$$ постоянна, значит решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$1^5+4\cdot 1^3+5\cdot 1=1+4+5=10.$$
Следовательно, $$x=1$$.
в) $$18-2x^5-6x^3-10x=0$$
Перепишем:
$$18-10x=6x^3+2x^5.$$
Функция $$f(x)=18-10x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=6x^3+2x^5$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$18-10\cdot 1=8,$$
$$6\cdot 1^3+2\cdot 1^5=6+2=8.$$
Следовательно, $$x=1$$.
г) $$15-2x^3=4x-9$$
Функция $$f(x)=15-2x^3$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=4x-9$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит решение единственно.
Проверим $$x=2$$:
$$15-2\cdot 2^3=15-16=-1,$$
$$4\cdot 2-9=8-9=-1.$$
Следовательно, $$x=2$$.
д) $$x^5+6x^3+5x-12=0$$
Перепишем:
$$x^5+6x^3+5x=12.$$
Функция $$f(x)=x^5+6x^3+5x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=12$$ постоянна, значит решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$1^5+6\cdot 1^3+5\cdot 1=1+6+5=12.$$
Следовательно, $$x=1$$.
е) $$10-x^5-2x^3-7x=0$$
Перепишем:
$$10-7x=x^5+2x^3.$$
Функция $$f(x)=10-7x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=x^5+2x^3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$10-7\cdot 1=3,$$
$$1^5+2\cdot 1^3=1+2=3.$$
Следовательно, $$x=1$$.
Ответ
а) $$\left(8;2\right)$$; б) $$\left(3;-\sqrt{3}\ln 3\right)$$; а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$2$$; д) $$1$$; е) $$1$$.
