Упр.15.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите угловой коэффициент касательной к графику заданной функции в точке $$x_0$$:
а) $$y=\frac{x^2}{\ln(x)},\quad x_0=e$$;
б) $$y=x^3\ln(x),\quad x_0=1$$;
в) $$y=(x^2-4)\lg(x+2),\quad x_0=-1$$;
г) $$y=\frac{\ln(x)}{vx},\quad x_0=4$$;
д) $$y=x\lg(x),\quad x_0=1$$;
е) $$y=(x^2-1)\log_2(x-1),\quad x_0=2$$. - При каких значениях параметра $$p$$ функция $$y=x^3-3x$$ возрастает на отрезке:
а) $$[p-2{,}5;\,p-0{,}5]$$;
б) $$[p-\frac{1}{2};\,2p+2]$$?
Найдём производную и подставим заданное значение аргумента.
а) $$y=\frac{x^2}{\ln x}, \quad x_0=e$$
$$y'(x)=\frac{2x\ln x-x^2\cdot \frac1x}{(\ln x)^2}=\frac{2x\ln x-x}{(\ln x)^2}$$
$$y'(e)=\frac{2e\cdot 1-e}{1^2}=e$$б) $$y=x^3\ln x, \quad x_0=1$$
$$y'(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=3x^2\ln x+x^2$$
$$y'(1)=3\cdot 1^2\cdot 0+1^2=1$$в) $$y=(x^2-4)\lg(x+2), \quad x_0=-1$$
$$y'(x)=2x\lg(x+2)+(x^2-4)\cdot \frac1{(x+2)\ln 10}$$
$$y'(-1)=2\cdot (-1)\cdot \lg 1+\frac{1-4}{1\cdot \ln 10}=-\frac{3}{\ln 10}$$г) $$y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}, \quad x_0=4$$
$$y'(x)=\frac{\frac1x\sqrt{x}-\ln x\cdot \frac1{2\sqrt{x}}}{x}$$
$$y'(4)=\frac{\frac14\cdot 2-\ln 4\cdot \frac14}{4}=\frac{1-\ln 2}{8}$$д) $$y=x\lg x, \quad x_0=1$$
$$y'(x)=\lg x+x\cdot \frac1{x\ln 10}$$
$$y'(1)=0+\frac1{\ln 10}=\frac1{\ln 10}$$е) $$y=(x^2-1)\log_2(x-1), \quad x_0=2$$
$$y'(x)=2x\log_2(x-1)+(x^2-1)\cdot \frac1{(x-1)\ln 2}$$
$$y'(2)=4\cdot 0+\frac{4-1}{1\cdot \ln 2}=\frac3{\ln 2}$$Для функции $$y=x^3-3x$$ найдём промежутки возрастания.
$$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
Функция возрастает там, где $$y'(x)\ge 0$$, то есть при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1$$.
а) На отрезке $$[p-2{,}5;\,p-0{,}5]$$ функция возрастает, если весь отрезок лежит в области возрастания:
$$p-0{,}5\le -1 \quad \text{или} \quad p-2{,}5\ge 1$$
$$p\le -0{,}5 \quad \text{или} \quad p\ge 3{,}5$$б) На отрезке $$\left[p-\frac12;\,2p+2\right]$$ функция возрастает, если:
$$2p+2\le -1 \quad \text{или} \quad p-\frac12\ge 1$$
$$2p\le -3 \quad \text{или} \quad p\ge \frac32$$
$$p\le -\frac32 \quad \text{или} \quad p\ge \frac32$$
Ответ
а) $$e$$; б) $$1$$; в) $$-\frac{3}{\ln 10}$$; г) $$\frac{1-\ln 2}{8}$$; д) $$\frac1{\ln 10}$$; е) $$\frac3{\ln 2}$$.
2) а) $$(-\infty;\,-0{,}5]\cup[3{,}5;\,+\infty)$$; б) $$(-\infty;\,-\frac32]\cup[\frac32;\,+\infty)$$.
