Упр.15.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=x^3+ln(x), x_0=1;
б) y=log_3(x)+1, x_0=3;
в) y=x^4-ln(x), x_0=1;
г) y=log_0,5(x)+x, x_0=4. При каких значениях параметра р функция y=x^3-3x убывает на отрезке:
а) [p+1; p+3]; б) [p-3; (1/6)p+2/3]?

Подробный ответ

Найдём производные и подставим заданные значения.
а) $$y=x^3+\ln x$$
$$y'(x)=3x^2+\frac{1}{x}$$
$$y'(1)=3\cdot 1^2+\frac{1}{1}=4$$
б) $$y=\log_3 x+1$$
$$y'(x)=\frac{1}{x\ln 3}$$
$$y'(3)=\frac{1}{3\ln 3}=\frac{1}{\ln 27}$$
в) $$y=x^4-\ln x$$
$$y'(x)=4x^3-\frac{1}{x}$$
$$y'(1)=4\cdot 1^3-\frac{1}{1}=3$$
г) $$y=\log_{0,5}x+x$$
$$y'(x)=\frac{1}{x\ln 0,5}+1=\frac{1}{x\ln \frac12}+1$$
$$y'(4)=\frac{1}{4\ln \frac12}+1=1-\frac{1}{4\ln 2}$$
Рассмотрим функцию $$y=x^3-3x$$.
$$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
Функция убывает там, где $$y'(x)\le 0$$, то есть при
$$-1\le x\le 1$$
а) На отрезке $$[p+1;\,p+3]$$ функция убывает, если
$$p+1\ge -1,\qquad p+3\le 1$$
Отсюда
$$p\ge -2,\qquad p\le -2$$
Значит, $$p=-2$$.
б) На отрезке $$\left[p-3;\,\frac16p+\frac23\right]$$ функция убывает, если
$$p-3\ge -1,\qquad \frac16p+\frac23\le 1$$
Тогда
$$p\ge 2,\qquad \frac16p\le \frac13,\qquad p\le 2$$
Следовательно, $$p=2$$.