Упр.15.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=log_2(4x+1); г) y=log_5(3-2x);
б) y=log_0,2(4-5x); д) y=log_(1/3)(3x-2);
в) y=lg(-x); е) y=log_0,1(10x). При каких значениях параметра р функция убывает на всей числовой прямой:
а) y=2px-x^3; в) y=-px^3-(p+1)x;
б) y=-x^3-px^2-4x+8; г) y=-x^3-2x^2-px+8?

1. Найдём производные.

Используем формулу:

$$\left(\log_a u\right)’=\frac{u’}{u\ln a}.$$

а) $$y=\log_2(4x+1)$$

$$y’=\frac{4}{(4x+1)\ln 2}.$$

б) $$y=\log_{0,2}(4-5x)$$

$$y’=\frac{-5}{(4-5x)\ln 0,2}=\frac{5}{(4-5x)\ln 5}.$$

в) $$y=\lg(-x)$$

$$y’=\frac{-1}{x\ln 10}=\frac{1}{x\ln 10}\cdot(-1).$$

Итак,

$$y’=-\frac{1}{x\ln 10}.$$

г) $$y=\log_5(3-2x)$$

$$y’=\frac{-2}{(3-2x)\ln 5}=\frac{2}{(2x-3)\ln 5}.$$

д) $$y=\log_{\frac13}(3x-2)$$

$$y’=\frac{3}{(3x-2)\ln \frac13}=\frac{3}{(2-3x)\ln 3}.$$

е) $$y=\log_{0,1}(10x)$$

$$y’=\frac{10}{10x\ln 0,1}=-\frac{1}{x\ln 10}.$$

2. Найдём значения параметра $$p$$, при которых функция убывает на всей числовой прямой.

Функция убывает на $$\mathbb{R}$$, если $$y'(x)\le 0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

а) $$y=2px-x^3$$

$$y’=2p-3x^2\le 0.$$

Так как $$3x^2\ge 0$$, наибольшее значение производной достигается при $$x=0$$:

$$2p\le 0,$$

откуда

$$p\le 0.$$

б) $$y=-x^3-px^2-4x+8$$

$$y’=-3x^2-2px-4\le 0.$$

Это квадратный трёхчлен по $$x$$, который не должен принимать положительных значений. Для этого дискриминант не должен быть положительным:

$$D=( -2p)^2-4\cdot(-3)\cdot(-4)=4p^2-48\le 0,$$

$$p^2\le 12,$$

$$-2\sqrt3\le p\le 2\sqrt3.$$

в) $$y=-px^3-(p+1)x$$

$$y’=-3px^2-(p+1)\le 0.$$

Чтобы это выполнялось при всех $$x$$, нужно, чтобы коэффициент при $$x^2$$ не давал положительных значений при больших $$|x|$$, то есть

$$p\ge 0.$$

г) $$y=-x^3-2x^2-px+8$$

$$y’=-3x^2-4x-p\le 0.$$

Рассмотрим выражение

$$3x^2+4x+p\ge 0.$$

Для него дискриминант должен быть не больше нуля:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot p\le 0,$$

$$16-12p\le 0,$$

$$p\ge \frac43.$$

Ответ

а) $$y’=\frac{4}{(4x+1)\ln 2}$$; б) $$y’=\frac{5}{(4-5x)\ln 5}$$; в) $$y’=-\frac{1}{x\ln 10}$$; г) $$y’=\frac{2}{(2x-3)\ln 5}$$; д) $$y’=\frac{3}{(2-3x)\ln 3}$$; е) $$y’=-\frac{1}{x\ln 10}$$.

а) $$p\le 0$$; б) $$-2\sqrt3\le p\le 2\sqrt3$$; в) $$p\ge 0$$; г) $$p\ge \frac43$$.