Упр.15.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите производную функции:
а) $$y=\log_3(x)$$; б) $$y=\log_{0,5}(x)$$; в) $$y=\frac{1}{\log_2(x)}$$; г) $$y=\frac{2}{\log_5(x)}$$; д) $$y=x^3\lg(x)$$; е) $$y=\frac{x}{\lg(x)}$$. - При каких значениях параметра $$p$$ функция возрастает на всей числовой прямой:
а) $$y=x^3+px$$; б) $$y=x^3+x^2+px-8$$; в) $$y=px^3+x$$; г) $$y=\frac{1}{3}x^3-px^2+9x-10$$?
Найдём производные по правилам дифференцирования.
а) $$y=\log_3 x$$
$$y’=\frac{1}{x\ln 3}$$
б) $$y=\log_{0,5} x$$
$$y’=\frac{1}{x\ln 0,5}=-\frac{1}{x\ln 2}$$
в) $$y=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{\ln 2}{\ln x}$$
$$y’=\ln 2\cdot\left(\frac{1}{\ln x}\right)’=-\frac{\ln 2}{x\ln^2 x}$$
г) $$y=\frac{2}{\log_5 x}=\frac{2\ln 5}{\ln x}$$
$$y’=-\frac{2\ln 5}{x\ln^2 x}$$
д) $$y=x^3\lg x$$
$$y’=3x^2\lg x+x^3\cdot\frac{1}{x\ln 10}=3x^2\lg x+\frac{x^2}{\ln 10}$$
е) $$y=\frac{x}{\lg x}$$
$$y’=\frac{\lg x-x\cdot\frac{1}{x\ln 10}}{\lg^2 x}=\frac{\lg x-\frac{1}{\ln 10}}{\lg^2 x}$$
Теперь найдём значения параметра $$p$$, при которых функция возрастает на всей числовой прямой. Для этого достаточно, чтобы $$y'(x)\ge 0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.
а) $$y=x^3+px$$
$$y’=3x^2+p$$
Минимум выражения $$3x^2+p$$ равен $$p$$, значит
$$p\ge 0.$$
б) $$y=x^3+x^2+px-8$$
$$y’=3x^2+2x+p$$
Чтобы квадратный трёхчлен был неотрицателен при всех $$x$$, нужно
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot p\le 0,$$
$$4-12p\le 0,$$
$$p\ge \frac13.$$
в) $$y=px^3+x$$
$$y’=3px^2+1$$
Если $$p\ge 0$$, то $$3px^2+1\ge 1>0$$. Если $$p<0$$, то при больших $$|x|$$ производная становится отрицательной. Значит,
$$p\ge 0.$$
г) $$y=\frac13x^3-px^2+9x-10$$
$$y’=x^2-2px+9$$
Для неотрицательности при всех $$x$$ нужно
$$D=(-2p)^2-4\cdot 1\cdot 9\le 0,$$
$$4p^2-36\le 0,$$
$$p^2\le 9,$$
$$-3\le p\le 3.$$
Ответ
а) $$y’=\frac{1}{x\ln 3}$$;
б) $$y’=-\frac{1}{x\ln 2}$$;
в) $$y’=-\frac{\ln 2}{x\ln^2 x}$$;
г) $$y’=-\frac{2\ln 5}{x\ln^2 x}$$;
д) $$y’=3x^2\lg x+\frac{x^2}{\ln 10}$$;
е) $$y’=\frac{\lg x-\frac{1}{\ln 10}}{\lg^2 x}$$.
а) $$p\ge 0$$;
б) $$p\ge \frac13$$;
в) $$p\ge 0$$;
г) $$-3\le p\le 3$$.
