Упр.15.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Найдите производную функции:
а) $$y=x+\ln(x)$$;
б) $$y=x^3\ln(x)$$;
в) $$y=\frac{\ln(x)}{\cos(x)}$$;
г) $$y=x^2-\ln(x)$$;
д) $$y=\sqrt{x}\ln(x)$$;
е) $$y=\frac{\sin(x)}{\ln(x)}$$.
Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) $$y=\sin(x)+\cos(x)+\sqrt{x}+5x$$;
б) $$y=\sin(3x)-\cos(2x)-2x^{2/3}-6e^x$$;
в) $$y=2\cos(x)-\sin(x)-x^{1/5}-4x$$;
г) $$y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)+x^{1/4}+2e^{2x}$$.
1. Найдём производные.
а) $$y=x+\ln x$$
$$y’ = 1+\frac{1}{x}$$
б) $$y=x^3\ln x$$
$$y’ = 3x^2\ln x+x^3\cdot\frac{1}{x}=x^2(3\ln x+1)$$
в) $$y=\frac{\ln x}{\cos x}$$
$$y’=\frac{\frac{1}{x}\cos x+\ln x\sin x}{\cos^2 x}=\frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x\cos^2 x}$$
г) $$y=x^2-\ln x$$
$$y’=2x-\frac{1}{x}$$
д) $$y=\sqrt{x}\ln x$$
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$$
е) $$y=\frac{\sin x}{\ln x}$$
$$y’=\frac{\cos x\ln x-\sin x\cdot\frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{x\cos x\ln x-\sin x}{x\ln^2 x}$$
2. Исследуем на монотонность.
а) $$y=\sin x+\cos x+\sqrt{x}+5x$$
$$y’=\cos x-\sin x+\frac{1}{2\sqrt{x}}+5$$
Так как $$\cos x-\sin x\ge -2$$, $$\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$$ при $$x>0$$ и $$5>0$$, то $$y’>0$$ на области определения.
Следовательно, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.
б) $$y=\sin 3x-\cos 2x-2x^{2/3}-6e^x$$
$$y’=3\cos 3x+2\sin 2x-\frac{4}{3x^{1/3}}-6e^x$$
На области определения $$x\ne 0$$, а при $$x>0$$ имеем $$3\cos 3x+2\sin 2x\le 5$$ и $$6e^x\ge 6$$, поэтому $$y'<0$$.
Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.
в) $$y=2\cos x-\sin x-x^{1/5}-4x$$
$$y’=-2\sin x-\cos x-\frac{1}{5x^{4/5}}-4$$
Так как $$-2\sin x-\cos x\le 3$$, а остальные слагаемые не положительны, то $$y'<0$$ на области определения.
Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.
г) $$y=\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sqrt[4]{x}+2e^{2x}$$
$$y’=-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{4x^{3/4}}+4e^{2x}$$
Так как $$-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}\ge -1$$, $$\frac{1}{4x^{3/4}}>0$$ и $$4e^{2x}\ge 4$$, то $$y’>0$$ на области определения.
Следовательно, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.
Ответ
а) $$y’=1+\frac{1}{x}$$; б) $$y’=x^2(3\ln x+1)$$; в) $$y’=\frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x\cos^2 x}$$; г) $$y’=2x-\frac{1}{x}$$; д) $$y’=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$$; е) $$y’=\frac{x\cos x\ln x-\sin x}{x\ln^2 x}$$.
а) возрастает на $$[0;+\infty)$$; б) убывает на $$[0;+\infty)$$; в) убывает на $$[0;+\infty)$$; г) возрастает на $$[0;+\infty)$$.
