Упр.15.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=ln(x); г) y=ln(x+3);
б) y=2ln(x); д) y=ln(2x+1);
в) y=ln(x-2); е) y=ln(1-x). Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) y=x/ln(x); г) y=ln(x)/x;
б) y=x^3 /e^x; д) y=2^x /x^2;
в) y=v(x+6)+ln(2-x); е) y=v(x+3)+ln(5-x).

Найдём производные по правилам дифференцирования:

а) $$y=\ln x,$$ тогда $$y’=\frac{1}{x}.$$
б) $$y=2\ln x,$$ тогда $$y’=\frac{2}{x}.$$
в) $$y=\ln(x-2),$$ тогда $$y’=\frac{1}{x-2}.$$
г) $$y=\ln(x+3),$$ тогда $$y’=\frac{1}{x+3}.$$
д) $$y=\ln(2x+1),$$ тогда $$y’=\frac{2}{2x+1}.$$
е) $$y=\ln(1-x),$$ тогда $$y’=-\frac{1}{1-x}=\frac{1}{x-1}.$$

Исследуем функции на монотонность.

а) $$y=\frac{x}{\ln x}.$$

$$ y’=\frac{\ln x-x\cdot \frac1x}{\ln^2 x} =\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}. $$
Так как $$\ln^2 x>0$$ при $$x>0,\ x\ne 1,$$ то знак производной определяется числителем:
$$\ln x-1\ge 0 \iff x\ge e.$$

Следовательно, функция возрастает на $$[e;+\infty),$$ убывает на $$ (0;1)\cup(1;e].$$

б) $$y=\frac{x^3}{e^x}.$$

$$ y’=\frac{3x^2e^x-x^3e^x}{e^{2x}} =\frac{x^2e^x(3-x)}{e^{2x}}. $$
Так как $$e^{2x}>0,$$ знак производной определяется множителем $$3-x.$$ Поэтому
$$y’>0 \iff x<3,$$
$$y'<0 \iff x>3.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;3],$$ убывает на $$[3;+\infty).$$

в) $$y=\sqrt{x+6}+\ln(2-x).$$

Область определения: $$x\ge -6,$$ $$x<2,$$ значит $$x\in[-6;2).$$

$$ y’=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{2-x} =\frac{x-2+2\sqrt{x+6}}{2(x-2)\sqrt{x+6}}. $$
На области определения знаменатель отрицателен, поэтому
$$ y’\ge 0 \iff x-2+2\sqrt{x+6}\le 0. $$
Так как $$x<2,$$ получаем
$$ 2\sqrt{x+6}\le 2-x. $$
Возведём в квадрат:
$$ 4(x+6)\le (2-x)^2, $$
$$ 4x+24\le x^2-4x+4, $$
$$ x^2-8x-20\ge 0. $$
Корни уравнения:
$$ D=64+80=144,\quad x_1=-2,\quad x_2=10. $$
Тогда
$$ (x+2)(x-10)\ge 0. $$
С учётом области определения $$x\in[-6;2)$$ получаем:
$$y’ \ge 0 \text{ на } [-6;-2], \quad y’ \le 0 \text{ на } [-2;2).$$

Следовательно, функция возрастает на $$[-6;-2],$$ убывает на $$[-2;2).$$

г) $$y=\frac{\ln x}{x}.$$

$$ y’=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}. $$
Так как $$x^2>0$$ при $$x>0,$$ то
$$ y’\ge 0 \iff 1-\ln x\ge 0 \iff x\le e. $$

Следовательно, функция возрастает на $$ (0;e],$$ убывает на $$[e;+\infty).$$

д) $$y=\frac{2^x}{x^2}.$$

$$ y’=\frac{2^x\ln 2\cdot x^2-2^x\cdot 2x}{x^4} =\frac{2^x(\ln 2\cdot x-2)}{x^3}. $$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{2}{\ln 2}.$$
Знак производной:

— на $$(-\infty;0)$$ функция возрастает;
— на $$\left(0;\frac{2}{\ln 2}\right]$$ функция убывает;
— на $$\left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right)$$ функция возрастает.

е) $$y=\sqrt{x+3}+\ln(5-x).$$

Область определения: $$x\ge -3,$$ $$x<5,$$ значит $$x\in[-3;5).$$

$$ y’=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}-\frac{1}{5-x} =\frac{x-5+2\sqrt{x+3}}{2(x-5)\sqrt{x+3}}. $$
На области определения знаменатель отрицателен, поэтому
$$ y’\ge 0 \iff x-5+2\sqrt{x+3}\le 0. $$
Так как $$x<5,$$ имеем
$$ 2\sqrt{x+3}\le 5-x. $$
Возведём в квадрат:
$$ 4(x+3)\le (5-x)^2, $$
$$ 4x+12\le x^2-10x+25, $$
$$ x^2-14x+13\ge 0. $$
Корни:
$$ D=196-52=144,\quad x_1=1,\quad x_2=13. $$
Тогда
$$ (x-1)(x-13)\ge 0. $$
С учётом области определения получаем:
$$y’ \ge 0 \text{ на } [-3;1], \quad y’ \le 0 \text{ на } [1;5).$$

Следовательно, функция возрастает на $$[-3;1],$$ убывает на $$[1;5).$$

Ответ

а) $$y’=\frac1x.$$
б) $$y’=\frac2x.$$
в) $$y’=\frac1{x-2}.$$
г) $$y’=\frac1{x+3}.$$
д) $$y’=\frac2{2x+1}.$$
е) $$y’=\frac1{x-1}.$$

Монотонность:
а) возрастает на $$[e;+\infty),$$ убывает на $$ (0;1)\cup(1;e].$$
б) возрастает на $$(-\infty;3],$$ убывает на $$[3;+\infty).$$
в) возрастает на $$[-6;-2],$$ убывает на $$[-2;2).$$
г) возрастает на $$ (0;e],$$ убывает на $$[e;+\infty).$$
д) возрастает на $$(-\infty;0)\cup\left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(0;\frac{2}{\ln 2}\right].$$
е) возрастает на $$[-3;1],$$ убывает на $$[1;5).$$