Упр.15.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Составьте уравнение касательной к графику функции в точке x = a (a > 0).
б) Найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс.
в) Докажите, что длина подкасательной (см. № 9.16, с. 106) равна 1 для любого a > 0.
г) Докажите, что касательную к графику функции y = e^x в точке с абсциссой a можно построить следующим образом: от точки (a; 0) отложить влево по оси абсцисс отрезок длиной 1, затем через полученную точку и точку графика провести прямую. Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) y=2x^2-8x+13; г) y=3x^2+6x-11;
б) y=3x^3-x^2; д) y=x^3-6x^2;
в) y=x^4-8x^2+19; е) y=x^4-2x^2-5.

Дана функция $$y=e^x.$$

а) Найдём уравнение касательной в точке $$x=a$$, где $$a>0.$$

Производная функции:

$$y'(x)=e^x,$$

значит,

$$y(a)=e^a,\qquad y'(a)=e^a.$$

Уравнение касательной:

$$y-y(a)=y'(a)(x-a),$$

то есть

$$y-e^a=e^a(x-a).$$

Следовательно,

$$y=e^a(x+1-a).$$

б) Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс.

При $$y=0$$ получаем:

$$e^a(x+1-a)=0.$$

Так как $$e^a>0,$$ то

$$x+1-a=0,\qquad x=a-1.$$

Точка пересечения: $$\bigl(a-1;0\bigr).$$

в) Длина подкасательной равна

$$l=\left|\frac{y(a)}{y'(a)}\right|=\left|\frac{e^a}{e^a}\right|=1.$$

Значит, для любого $$a>0$$ длина подкасательной равна $$1.$$

г) Касательная в точке с абсциссой $$a$$ проходит через точки $$\bigl(a;e^a\bigr)$$ и $$\bigl(a-1;0\bigr).$$

Следовательно, чтобы построить касательную, достаточно от точки $$\bigl(a;0\bigr)$$ отложить влево по оси абсцисс отрезок длиной $$1$$, получить точку $$\bigl(a-1;0\bigr)$$ и провести прямую через эту точку и точку графика $$\bigl(a;e^a\bigr).$$

Исследование на монотонность

а) $$y=2x^2-8x+13$$

$$y'(x)=4x-8.$$

$$4x-8\ge 0 \iff x\ge 2.$$

Функция возрастает на $$[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2].$$

б) $$y=3x^3-x^2$$

$$y'(x)=9x^2-2x=x(9x-2).$$

$$x(9x-2)\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge \frac{2}{9}.$$

Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{2}{9};+\infty\right),$$ убывает на $$\left[0;\frac{2}{9}\right].$$

в) $$y=x^4-8x^2+19$$

$$y'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$

$$4x(x-2)(x+2)\ge 0 \iff x\in[-2;0]\cup[2;+\infty).$$

Функция возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2].$$

г) $$y=3x^2+6x-11$$

$$y'(x)=6x+6=6(x+1).$$

$$6(x+1)\ge 0 \iff x\ge -1.$$

Функция возрастает на $$[-1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1].$$

д) $$y=x^3-6x^2$$

$$y'(x)=3x^2-12x=3x(x-4).$$

$$3x(x-4)\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 4.$$

Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[0;4].$$

е) $$y=x^4-2x^2-5$$

$$y'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

$$4x(x-1)(x+1)\ge 0 \iff x\in[-1;0]\cup[1;+\infty).$$

Функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$

Ответ

а) $$y=e^a(x+1-a).$$
б) $$\bigl(a-1;0\bigr).$$
в) $$l=1.$$
г) Касательная проходит через точки $$\bigl(a-1;0\bigr)$$ и $$\bigl(a;e^a\bigr).$$

Монотонность:
а) возрастает на $$[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2].$$
б) возрастает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{2}{9};+\infty\right),$$ убывает на $$\left[0;\frac{2}{9}\right].$$
в) возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
г) возрастает на $$[-1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1].$$
д) возрастает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[0;4].$$
е) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$