Упр.15.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = e^(sin x) + 2^(cos x); б) y = e^(x^5 — vx);
в) y = 3^(arctg 2x); г) y = tg(e^x) + ctg(3^x);
д) y = 2^(arcsin x); е) y = (e^(2x)+2^(ex))^(1/3). Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) y=2^x+ln(x); в) y=3^x+x^17;
б) y=2x^2-ln(x); г) y=x-ln(x+1).

1. Найдём производные.

   а) $$y=e^{\sin x}+2^{\cos x}$$

   $$y’=(\sin x)’e^{\sin x}+(\cos x)’2^{\cos x}\ln 2$$
   $$y’=\cos x\cdot e^{\sin x}-\sin x\cdot 2^{\cos x}\ln 2$$

   б) $$y=e^{x^5-\sqrt{x}}$$

   $$y’=\left(x^5-\sqrt{x}\right)’e^{x^5-\sqrt{x}}$$
   $$y’=\left(5x^4-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)e^{x^5-\sqrt{x}}$$

   в) $$y=3^{\arctg 2x}$$

   $$y’=(\arctg 2x)’3^{\arctg 2x}\ln 3$$
   $$y’=\frac{2}{1+4x^2}\,3^{\arctg 2x}\ln 3$$

   г) $$y=\tg(e^x)+\ctg(3^x)$$

   $$y’=(e^x)’\frac{1}{\cos^2 e^x}+(3^x)’\left(-\frac{1}{\sin^2 3^x}\right)$$
   $$y’=\frac{e^x}{\cos^2 e^x}-\frac{3^x\ln 3}{\sin^2 3^x}$$

   д) $$y=2^{\arcsin x}$$

   $$y’=(\arcsin x)’2^{\arcsin x}\ln 2$$
   $$y’=\frac{2^{\arcsin x}\ln 2}{\sqrt{1-x^2}}$$

   е) $$y=\sqrt[3]{e^{2x}+2^{ex}}$$

   $$y’=\left(e^{2x}+2^{ex}\right)’\cdot \frac{1}{3}\left(e^{2x}+2^{ex}\right)^{-2/3}$$
   $$y’=\frac{2e^{2x}+e\cdot 2^{ex}\ln 2}{3\sqrt[3]{\left(e^{2x}+2^{ex}\right)^2}}$$

2. Исследуем функцию на монотонность.

   а) $$y=2^x+\ln x$$, $$x>0$$

   $$y’=2^x\ln 2+\frac{1}{x}$$

   Так как при $$x>0$$ оба слагаемых положительны, то $$y’>0$$.

   Функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   б) $$y=2x^2-\ln x$$, $$x>0$$

   $$y’=4x-\frac{1}{x}=\frac{4x^2-1}{x}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$$

   При $$x>0$$ знак производной определяется числителем:

   $$4x^2-1>0 \iff x>\frac12$$

   $$4x^2-1<0 \iff 0<x<\frac12$$

   Функция возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$.

   в) $$y=3^x+x^{17}$$

   $$y’=3^x\ln 3+17x^{16}$$

   Так как $$3^x\ln 3>0$$ и $$17x^{16}\ge 0$$, то $$y’>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

   Функция возрастает на $$\left(-\infty;+\infty\right)$$.

   г) $$y=x-\ln(x+1)$$, $$x>-1$$

   $$y’=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$$

   На области определения $$x+1>0$$, поэтому знак $$y’$$ совпадает со знаком $$x$$.

   Функция убывает на $$\left(-1;0\right]$$ и возрастает на $$\left[0;+\infty\right)$$.

Ответ

а) $$y’=\cos x\cdot e^{\sin x}-\sin x\cdot 2^{\cos x}\ln 2$$;
б) $$y’=\left(5x^4-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)e^{x^5-\sqrt{x}}$$;
в) $$y’=\frac{2}{1+4x^2}\,3^{\arctg 2x}\ln 3$$;
г) $$y’=\frac{e^x}{\cos^2 e^x}-\frac{3^x\ln 3}{\sin^2 3^x}$$;
д) $$y’=\frac{2^{\arcsin x}\ln 2}{\sqrt{1-x^2}}$$;
е) $$y’=\frac{2e^{2x}+e\cdot 2^{ex}\ln 2}{3\sqrt[3]{\left(e^{2x}+2^{ex}\right)^2}}$$.

Исследование на монотонность:
а) возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$;
б) убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$, возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right)$$;
в) возрастает на $$\left(-\infty;+\infty\right)$$;
г) убывает на $$\left(-1;0\right]$$, возрастает на $$\left[0;+\infty\right)$$.