Упр.15.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Докажите, что функция y = ae^(-x) + (1/2)(sin x + cos x) для любого a ? R удовлетворяет соотношению y’ + y = cos x. Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) y=v(2x+1); в) y=v(3-2x);
б) y=v(2-x)+2x; г) y=v(3-x)+3x.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=xe^{1-ax}.$$ Тогда по правилу произведения

$$ y’ = e^{1-ax} + x\cdot e^{1-ax}(-a)=e^{1-ax}(1-ax). $$

С другой стороны,

$$ \frac{y}{x}=e^{1-ax}, \qquad \ln\frac{y}{x}=\ln\left(e^{1-ax}\right)=1-ax. $$

Следовательно,

$$ \frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}=e^{1-ax}(1-ax)=y’, $$

что и требовалось доказать.

б) Пусть $$y=ae^{-x}+\frac12(\sin x+\cos x).$$ Тогда

$$ y’=-ae^{-x}+\frac12(\cos x-\sin x). $$

Найдём сумму $$y’+y$$:

$$ y’+y=\left(-ae^{-x}+\frac12(\cos x-\sin x)\right)+\left(ae^{-x}+\frac12(\sin x+\cos x)\right)=\cos x. $$

Что и требовалось доказать.

Исследование на монотонность

а) $$y=\sqrt{2x+1}.$$ Область определения: $$2x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -\frac12.$$

$$ y’=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}>0 $$
при $$x>-\frac12.$$ Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac12;+\infty\right).$$

б) $$y=\sqrt{2-x}+2x.$$ Область определения: $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2.$$

$$ y’=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+2. $$

Найдём, где $$y’\ge 0$$:

$$ 2-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\ge 0 $$
$$ 4\sqrt{2-x}-1\ge 0 $$
$$ 4\sqrt{2-x}\ge 1 $$
$$ \sqrt{2-x}\ge \frac14 $$
$$ 2-x\ge \frac{1}{16} $$
$$ x\le \frac{31}{16}. $$

С учётом области определения получаем: функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{31}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{31}{16};2\right].$$

в) $$y=\sqrt{3-2x}.$$ Область определения: $$3-2x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac32.$$

$$ y’=-\frac{2}{2\sqrt{3-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{3-2x}}<0 $$ при $$x<\frac32.$$ Значит, функция убывает на $$\left(-\infty;\frac32\right].$$

г) $$y=\sqrt{3-x}+3x.$$ Область определения: $$3-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 3.$$

$$ y’=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}+3. $$

Найдём, где $$y’\ge 0$$:

$$ 3-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\ge 0 $$
$$ 6\sqrt{3-x}-1\ge 0 $$
$$ 6\sqrt{3-x}\ge 1 $$
$$ \sqrt{3-x}\ge \frac16 $$
$$ 3-x\ge \frac{1}{36} $$
$$ x\le \frac{107}{36}. $$

С учётом области определения получаем: функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{107}{36}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{107}{36};3\right].$$