Упр.15.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Касательная к графику функции y=0,5·25^x+8·5^x параллельна прямой y=9xln(5). Составьте уравнение этой касательной. Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) y=4/(x-2)^2; в) y=x^3 /(x-2); д) y=3x/(x^2+2);
б) y=2x/(x^2+1); г) y=3/(x+1)^2; е) y=2x^3 /(3x+1).
а) Найдём производную функции $$y=4^x-4\cdot 2^x-14x\ln 2.$$
Так как касательная параллельна прямой $$y=x\ln 4,$$ её угловой коэффициент равен $$\ln 4=2\ln 2.$$
Тогда
$$ y'(x)=4^x\ln 4-4\cdot 2^x\ln 2-14\ln 2 $$
и нужно решить уравнение
$$ 4^x\ln 4-4\cdot 2^x\ln 2-14\ln 2=2\ln 2. $$
Разделим на $$\ln 2$$:
$$ 2\cdot 4^x-4\cdot 2^x-14=2. $$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=t^2$$. Получаем:
$$ 2t^2-4t-16=0 $$
$$ t^2-2t-8=0 $$
$$ (t-4)(t+2)=0. $$
Так как $$t=2^x>0,$$ то $$t=4.$$ Следовательно,
$$ 2^x=4=2^2,\quad x=2. $$
б) Для функции $$y=0{,}5\cdot 25^x+8\cdot 5^x$$ производная равна
$$ y'(x)=0{,}5\cdot 25^x\ln 25+8\cdot 5^x\ln 5. $$
Касательная параллельна прямой $$y=9x\ln 5,$$ значит её угловой коэффициент равен $$9\ln 5.$$ Тогда
$$ 0{,}5\cdot 25^x\ln 25+8\cdot 5^x\ln 5=9\ln 5. $$
Так как $$\ln 25=2\ln 5,$$ получаем
$$ 5^{2x}+8\cdot 5^x-9=0. $$
Положим $$t=5^x>0.$$ Тогда
$$ t^2+8t-9=0 $$
$$ (t-1)(t+9)=0. $$
С учётом $$t>0$$ имеем $$t=1,$$ значит $$5^x=1$$ и $$x=0.$$
Найдём точку касания:
$$ y(0)=0{,}5\cdot 25^0+8\cdot 5^0=0{,}5+8=8{,}5. $$
Уравнение касательной:
$$ y-8{,}5=9\ln 5\,(x-0), $$
то есть
$$ y=9x\ln 5+8{,}5. $$
Исследование на монотонность
а) $$y=\dfrac{4}{(x-2)^2}$$
$$ y'(x)=4\cdot(-2)(x-2)^{-3}=-\frac{8}{(x-2)^3}. $$
При $$x<2$$ производная положительна, при $$x>2$$ — отрицательна. Поэтому функция
возрастает на $$(-\infty;2),$$ убывает на $$(2;+\infty).$$
б) $$y=\dfrac{2x}{x^2+1}$$
$$ y'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}. $$
Знак производной определяется числителем:
$$ 1-x^2\ge 0 \iff -1\le x\le 1. $$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1],$$ убывает на $$(-\infty;-1] \cup [1;+\infty).$$
в) $$y=\dfrac{x^3}{x-2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
$$ y'(x)=\frac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2} =\frac{2x^3-6x^2}{(x-2)^2} =\frac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}. $$
Так как $$2x^2\ge 0$$ и $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется множителем $$x-3.$$
Функция убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3],$$ возрастает на $$[3;+\infty).$$
г) $$y=\dfrac{3}{(x+1)^2}$$
Область определения: $$x\ne -1.$$
$$ y'(x)=3\cdot(-2)(x+1)^{-3}=-\frac{6}{(x+1)^3}. $$
При $$x<-1$$ производная положительна, при $$x>-1$$ — отрицательна. Значит, функция
возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty).$$
д) $$y=\dfrac{3x}{x^2+2}$$
$$ y'(x)=\frac{3(x^2+2)-3x\cdot 2x}{(x^2+2)^2} =\frac{6-3x^2}{(x^2+2)^2} =\frac{3(2-x^2)}{(x^2+2)^2}. $$
$$ 2-x^2\ge 0 \iff -\sqrt2\le x\le \sqrt2. $$
Следовательно, функция возрастает на $$[-\sqrt2;\sqrt2],$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;+\infty).$$
е) $$y=\dfrac{2x^3}{3x+1}$$
Область определения: $$x\ne -\dfrac13.$$
$$ y'(x)=\frac{6x^2(3x+1)-2x^3\cdot 3}{(3x+1)^2} =\frac{12x^3+6x^2}{(3x+1)^2} =\frac{6x^2(2x+1)}{(3x+1)^2}. $$
Так как $$6x^2\ge 0$$ и $$(3x+1)^2>0$$ при $$x\ne -\dfrac13,$$ знак производной определяется множителем $$2x+1.$$
Функция убывает на $$(-\infty;-\dfrac12],$$ возрастает на $$[-\dfrac12;-\dfrac13)\cup(-\dfrac13;+\infty).$$
Ответ
а) $$x=2$$; б) $$y=9x\ln 5+8{,}5$$; монотонность: а) возрастает на $$(-\infty;2)$$, убывает на $$(2;+\infty)$$; б) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$; в) убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$; г) возрастает на $$(-\infty;-1)$$, убывает на $$(-1;+\infty)$$; д) возрастает на $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$, убывает на $$(-\infty;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;+\infty)$$; е) убывает на $$(-\infty;-\dfrac12]$$, возрастает на $$[-\dfrac12;-\dfrac13)\cup(-\dfrac13;+\infty).$$
