Упр.15.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Найдём производную функции $$y=4^x-4\cdot 2^x-14x\ln 2.$$

   Так как касательная параллельна прямой $$y=x\ln 4,$$ её угловой коэффициент равен $$\ln 4=2\ln 2.$$

   Тогда

   $$y'(x)=4^x\ln 4-4\cdot 2^x\ln 2-14\ln 2$$

   и нужно решить уравнение

   $$4^x\ln 4-4\cdot 2^x\ln 2-14\ln 2=2\ln 2.$$

   Разделим на $$\ln 2$$:

   $$2\cdot 4^x-4\cdot 2^x-14=2.$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=t^2$$. Получаем:

   $$2t^2-4t-16=0$$

   $$t^2-2t-8=0$$

   $$(t-4)(t+2)=0.$$

   Так как $$t=2^x>0,$$ то $$t=4.$$ Следовательно,

   $$2^x=4=2^2,\quad x=2.$$

2. б) Для функции $$y=0{,}5\cdot 25^x+8\cdot 5^x$$ производная равна

   $$y'(x)=0{,}5\cdot 25^x\ln 25+8\cdot 5^x\ln 5.$$

   Касательная параллельна прямой $$y=9x\ln 5,$$ значит её угловой коэффициент равен $$9\ln 5.$$ Тогда

   $$0{,}5\cdot 25^x\ln 25+8\cdot 5^x\ln 5=9\ln 5.$$

   Так как $$\ln 25=2\ln 5,$$ получаем

   $$5^{2x}+8\cdot 5^x-9=0.$$

   Положим $$t=5^x>0.$$ Тогда

   $$t^2+8t-9=0$$

   $$(t-1)(t+9)=0.$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$t=1,$$ значит $$5^x=1$$ и $$x=0.$$

   Найдём точку касания:

   $$y(0)=0{,}5\cdot 25^0+8\cdot 5^0=0{,}5+8=8{,}5.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-8{,}5=9\ln 5\,(x-0),$$

   то есть

   $$y=9x\ln 5+8{,}5.$$

3. Исследование на монотонность

   а) $$y=\dfrac{4}{(x-2)^2}$$

   $$y'(x)=4\cdot(-2)(x-2)^{-3}=-\frac{8}{(x-2)^3}.$$

   При $$x<2$$ производная положительна, при $$x>2$$ — отрицательна. Поэтому функция

   возрастает на $$(-\infty;2),$$ убывает на $$(2;+\infty).$$

   б) $$y=\dfrac{2x}{x^2+1}$$

   $$y'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.$$

   Знак производной определяется числителем:

   $$1-x^2\ge 0 \iff -1\le x\le 1.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1],$$ убывает на $$(-\infty;-1] \cup [1;+\infty).$$

   в) $$y=\dfrac{x^3}{x-2}$$

   Область определения: $$x\ne 2.$$

   $$y'(x)=\frac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2} =\frac{2x^3-6x^2}{(x-2)^2} =\frac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}.$$

   Так как $$2x^2\ge 0$$ и $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется множителем $$x-3.$$

   Функция убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3],$$ возрастает на $$[3;+\infty).$$

   г) $$y=\dfrac{3}{(x+1)^2}$$

   Область определения: $$x\ne -1.$$

   $$y'(x)=3\cdot(-2)(x+1)^{-3}=-\frac{6}{(x+1)^3}.$$

   При $$x<-1$$ производная положительна, при $$x>-1$$ — отрицательна. Значит, функция

   возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty).$$

   д) $$y=\dfrac{3x}{x^2+2}$$

   $$y'(x)=\frac{3(x^2+2)-3x\cdot 2x}{(x^2+2)^2} =\frac{6-3x^2}{(x^2+2)^2} =\frac{3(2-x^2)}{(x^2+2)^2}.$$

   $$2-x^2\ge 0 \iff -\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-\sqrt2;\sqrt2],$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;+\infty).$$

   е) $$y=\dfrac{2x^3}{3x+1}$$

   Область определения: $$x\ne -\dfrac13.$$

   $$y'(x)=\frac{6x^2(3x+1)-2x^3\cdot 3}{(3x+1)^2} =\frac{12x^3+6x^2}{(3x+1)^2} =\frac{6x^2(2x+1)}{(3x+1)^2}.$$

   Так как $$6x^2\ge 0$$ и $$(3x+1)^2>0$$ при $$x\ne -\dfrac13,$$ знак производной определяется множителем $$2x+1.$$

   Функция убывает на $$(-\infty;-\dfrac12],$$ возрастает на $$[-\dfrac12;-\dfrac13)\cup(-\dfrac13;+\infty).$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$y=9x\ln 5+8{,}5$$; монотонность: а) возрастает на $$(-\infty;2)$$, убывает на $$(2;+\infty)$$; б) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$; в) убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$; г) возрастает на $$(-\infty;-1)$$, убывает на $$(-1;+\infty)$$; д) возрастает на $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$, убывает на $$(-\infty;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;+\infty)$$; е) убывает на $$(-\infty;-\dfrac12]$$, возрастает на $$[-\dfrac12;-\dfrac13)\cup(-\dfrac13;+\infty).$$