Упр.15.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Барометрическое давление в зависимости от высоты h изменяется по закону p(h) = p_0 e^(-ch), где p_0 — нормальное давление, а c — некоторая константа. На высоте 5540 м давление составило половину нормального. Какова скорость изменения давления? Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) y=(1/3)x^3+(1/2)x^2-12x+2; г) y=x^3+2x^2-4x+18;
б) y=x^4-(8/3)x^3+(3/2)x^2-14; д) y=(1/4)x^4+(1/3)x^3-3x^2-17;
в) y=5x^5+5 (1/3)x^3-9x+25; е) y=(1/5)x^5-3 (1/3)x^3+9x-21.

а) $$R(t)=R_0e^{-kt}$$

Найдём производную:

$$R'(t)=R_0\cdot(-k)e^{-kt}=-kR_0e^{-kt}=-kR(t).$$

Значит, скорость распада пропорциональна количеству нераспавшегося радия.

б) $$p(h)=p_0e^{-ch}$$

Тогда

$$p'(h)=p_0\cdot(-c)e^{-ch}=-cp(h).$$

На высоте $$5540$$ м давление равно половине нормального, то есть $$p(h)=\frac{p_0}{2}$$. Тогда

$$p'(h)=-c\cdot \frac{p_0}{2}=-\frac{1}{2}cp_0.$$

Скорость изменения давления равна $$-\frac{1}{2}cp_0$$, а по модулю — $$\frac{1}{2}cp_0$$.

Исследование на монотонность

а) $$y=\frac13x^3+\frac12x^2-12x+2$$

$$y'(x)=x^2+x-12=(x+4)(x-3).$$

$$y'(x)\ge 0 \iff x\le -4 \text{ или } x\ge 3.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[3;+\infty)$$ и убывает на $$[-4;3]$$.

б) $$y=x^4-\frac83x^3+\frac32x^2-14$$

$$y'(x)=4x^3-8x^2+3x=x(4x^2-8x+3)=x(2x-1)(2x-3).$$

Критические точки: $$x=0,\ \frac12,\ \frac32.$$

Знак производной даёт:

функция возрастает на $$[0;\frac12]\cup[\frac32;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[\frac12;\frac32]$$.

в) $$y=5x^5+\frac53x^3-9x+25$$

$$y'(x)=25x^4+5x^2-9.$$

Положим $$u=x^2$$. Тогда

$$25u^2+5u-9=0.$$

$$D=5^2-4\cdot25\cdot(-9)=25+900=925,$$

$$u_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{925}}{50}.$$

Положительный корень:

$$u_0=\frac{-5+\sqrt{925}}{50}=\frac{-1+\sqrt{37}}{10}.$$

Значит,

$$x=\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}}.$$

Так как коэффициент при $$x^4$$ положительный, то

функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}};+\infty)$$ и убывает на $$[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}};\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}}]$$.

г) $$y=x^3+2x^2-4x+18$$

$$y'(x)=3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2).$$

$$y'(x)\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge \frac23.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[\frac23;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;\frac23]$$.

д) $$y=\frac14x^4+\frac13x^3-3x^2-17$$

$$y'(x)=x^3+x^2-6x=x(x^2+x-6)=x(x+3)(x-2).$$

Критические точки: $$x=-3,\ 0,\ 2.$$

По знакам производной:

функция возрастает на $$[-3;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;2]$$.

е) $$y=\frac15x^5-\frac13x^3+9x-21$$

$$y'(x)=x^4-x^2+9.$$

Положим $$u=x^2$$. Тогда

$$u^2-u+9>0$$

для всех $$u$$, так как

$$D=1-36=-35<0.$$

Значит, $$y'(x)>0$$ при всех $$x$$, и функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

а) скорость распада: $$R'(t)=-kR(t)$$.

б) $$p'(h)=-\frac12cp_0$$, по модулю $$\frac12cp_0$$.

а) возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[-4;3]$$.

б) возрастает на $$[0;\frac12]\cup[\frac32;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[\frac12;\frac32]$$.

в) возрастает на $$(-\infty;-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}};+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}};\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{10}}]$$.

г) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[\frac23;+\infty)$$, убывает на $$[-2;\frac23]$$.

д) возрастает на $$[-3;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;2]$$.

е) функция возрастает на всей числовой прямой.