Упр.15.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=e^x, a=-1; г) f(x)=e^(-x), a=0;
б) f(x)=xe^(3x+1), a=-1/3; д) f(x)=xe^(1-5x), a=0,2;
в) y=2^(x+1), a=-1; е) y=5^(2x-1), a=0,5. Докажите, что функция:
а) y=(2x-1)/(x-3) убывает на (-?; 3);
б) y=(3x-5)/(x-1) возрастает на (1; +?);
в) y=(4x-13)/(2x-5) возрастает на (2,5; +?);
г) y=(4x-5)/(x-2) убывает на (2; +?);
д) y=(6x-5)/(3x-1) возрастает на (-?; 1/3);
е) y=(6x+13)/(2x+3) убывает на (-?; -1,5).
Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$ имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
а) $$f(x)=e^x,\ a=-1.$$
$$f'(x)=e^x,\quad f'(-1)=e^{-1}=\frac1e,\quad f(-1)=\frac1e.$$
$$y=\frac1e+\frac1e(x+1)=\frac{x+2}{e}.$$
б) $$f(x)=xe^{3x+1},\ a=-\frac13.$$
$$f'(x)=e^{3x+1}+x\cdot 3e^{3x+1}=e^{3x+1}(1+3x).$$
$$f’\!\left(-\frac13\right)=e^0\left(1-1\right)=0,\quad f\!\left(-\frac13\right)=-\frac13\cdot e^0=-\frac13.$$
$$y=-\frac13+0\left(x+\frac13\right)=-\frac13.$$
в) $$y=2^{x+1},\ a=-1.$$
$$f'(x)=2^{x+1}\ln 2,\quad f'(-1)=2^0\ln 2=\ln 2,$$
$$f(-1)=2^0=1.$$
$$y=1+\ln 2\,(x+1)=x\ln 2+\ln 2+1.$$
г) $$f(x)=e^{-x},\ a=0.$$
$$f'(x)=-e^{-x},\quad f'(0)=-1,\quad f(0)=1.$$
$$y=1-1\cdot x=1-x.$$
д) $$f(x)=xe^{1-5x},\ a=0{,}2.$$
$$f'(x)=e^{1-5x}-5xe^{1-5x}=e^{1-5x}(1-5x).$$
$$f'(0{,}2)=e^0(1-1)=0,\quad f(0{,}2)=0{,}2\cdot e^0=0{,}2.$$
$$y=0{,}2+0\,(x-0{,}2)=0{,}2.$$
е) $$f(x)=5^{2x-1},\ a=0{,}5.$$
$$f'(x)=2\cdot 5^{2x-1}\ln 5,\quad f'(0{,}5)=2\ln 5,$$
$$f(0{,}5)=5^0=1.$$
$$y=1+2\ln 5\,(x-0{,}5)=2x\ln 5-\ln 5+1.$$
Докажем монотонность функций по знаку производной.
а) $$y=\frac{2x-1}{x-3}.$$
$$y’=\frac{2(x-3)-(2x-1)}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2}<0.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;3).$$
б) $$y=\frac{3x-5}{x-1}.$$
$$y’=\frac{3(x-1)-(3x-5)}{(x-1)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на $$(1;+\infty).$$
в) $$y=\frac{4x-13}{2x-5}.$$
$$y’=\frac{4(2x-5)-2(4x-13)}{(2x-5)^2}=\frac{6}{(2x-5)^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на $$(2{,}5;+\infty).$$
г) $$y=\frac{4x-5}{x-2}.$$
$$y’=\frac{4(x-2)-(4x-5)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}<0.$$
Значит, функция убывает на $$(2;+\infty).$$
д) $$y=\frac{6x-5}{3x-1}.$$
$$y’=\frac{6(3x-1)-3(6x-5)}{(3x-1)^2}=\frac{9}{(3x-1)^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac13\right).$$
е) $$y=\frac{6x+13}{2x+3}.$$
$$y’=\frac{6(2x+3)-2(6x+13)}{(2x+3)^2}=\frac{-8}{(2x+3)^2}<0.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1{,}5).$$
Ответ
а) $$y=\frac{x+2}{e}$$; б) $$y=-\frac13$$; в) $$y=x\ln 2+\ln 2+1$$; г) $$y=1-x$$; д) $$y=0{,}2$$; е) $$y=2x\ln 5-\ln 5+1$$.
Функции: а) убывает на $$(-\infty;3)$$; б) возрастает на $$(1;+\infty)$$; в) возрастает на $$(2{,}5;+\infty)$$; г) убывает на $$(2;+\infty)$$; д) возрастает на $$\left(-\infty;\frac13\right)$$; е) убывает на $$(-\infty;-1{,}5).$$
