Упр.15.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=(1/6)e^(6x+1), a=-1/6;
б) f(x)=v3/e^(x+v3), a=-v3;
в) f(x)=x+0,5^(x/ln(2)), a=0;
г) f(x)=-(1/5)e^(4x-1), a=0,25;
д) f(x)=e^(xv3-3), a=v3;
е) f(x)=x+0,1^(x/ln(10)), a=0. Докажите, что данная функция монотонна на всей числовой прямой, и укажите характер монотонности:
а) y=8-16x-4x^3; в) y=log_2(x)+sin(x)+2x;
б) y=cos(2x)+4x-6; г) y=log_(1/3)(x)-x^3-3x.

1. Угол наклона касательной находим по формуле $$\tan \alpha = f'(a).$$

   а) $$f(x)=\frac16 e^{6x+1}, \quad a=-\frac16.$$

   $$f'(x)=\frac16 \cdot 6e^{6x+1}=e^{6x+1},$$
   $$f’\!\left(-\frac16\right)=e^{-1+1}=e^0=1.$$
   Значит, $$\tan \alpha=1,$$ откуда $$\alpha=45^\circ.$$

   б) $$f(x)=\frac{\sqrt3}{e^{x+\sqrt3}}, \quad a=-\sqrt3.$$

   $$f(x)=\sqrt3\,e^{-x-\sqrt3},$$
   $$f'(x)=-\sqrt3\,e^{-x-\sqrt3},$$
   $$f'(-\sqrt3)=-\sqrt3\cdot e^0=-\sqrt3.$$
   Тогда $$\tan \alpha=-\sqrt3,$$ значит $$\alpha=120^\circ.$$

   в) $$f(x)=x+0{,}5^{\frac{x}{\ln 2}}, \quad a=0.$$

   $$f'(x)=1+0{,}5^{\frac{x}{\ln 2}}\cdot \frac{\ln 0{,}5}{\ln 2},$$
   $$f'(0)=1+\frac{\ln 0{,}5}{\ln 2}=1+\frac{-\ln 2}{\ln 2}=0.$$
   Следовательно, $$\tan \alpha=0,$$ откуда $$\alpha=0^\circ.$$

   г) $$f(x)=-\frac15 e^{4x-1}, \quad a=0{,}25.$$

   $$f'(x)=-\frac15 \cdot 4e^{4x-1}=-\frac45 e^{4x-1},$$
   $$f'(0{,}25)=-\frac45 e^0=-\frac45.$$
   Тогда $$\tan \alpha=-\frac45,$$ и угол наклона касательной равен
   $$\alpha=180^\circ-\arctan\frac45.$$

   д) $$f(x)=e^{x\sqrt3-3}, \quad a=\sqrt3.$$

   $$f'(x)=\sqrt3\,e^{x\sqrt3-3},$$
   $$f'(\sqrt3)=\sqrt3\cdot e^0=\sqrt3.$$
   Значит, $$\tan \alpha=\sqrt3,$$ откуда $$\alpha=60^\circ.$$

   е) $$f(x)=x+0{,}1^{\frac{x}{\ln 10}}, \quad a=0.$$

   $$f'(x)=1+0{,}1^{\frac{x}{\ln 10}}\cdot \frac{\ln 0{,}1}{\ln 10},$$
   $$f'(0)=1+\frac{\ln 0{,}1}{\ln 10}=1+\frac{-\ln 10}{\ln 10}=0.$$
   Следовательно, $$\alpha=0^\circ.$$

2. Докажем монотонность по знаку производной.

   а) $$y=8-16x-4x^3.$$

   $$y'(x)=-16-12x^2<0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Значит, функция убывает на всей числовой прямой.

   б) $$y=\cos 2x+4x-6.$$

   $$y'(x)=-2\sin 2x+4.$$
   Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
   $$2\le -2\sin 2x+4\le 6,$$
   следовательно, $$y'(x)>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Значит, функция возрастает.

   в) $$y=\log_2 x+\sin x+2x.$$

   Область определения: $$x>0.$$ Производная:
   $$y'(x)=\frac{1}{x\ln 2}+\cos x+2.$$
   Так как $$\frac{1}{x\ln 2}>0$$ при $$x>0$$ и $$\cos x\ge -1,$$ то
   $$y'(x)>\,0+(-1)+2=1>0.$$
   Значит, функция возрастает на $$\left(0,+\infty\right).$$

   г) $$y=\log_{\frac13}x-x^3-3x.$$

   Область определения: $$x>0.$$ Производная:
   $$y'(x)=\frac{1}{x\ln \frac13}-3x^2-3.$$
   Поскольку $$\ln \frac13<0,$$ то $$\frac{1}{x\ln \frac13}<0,$$ а также $$-3x^2-3<0.$$ Следовательно, $$y'(x)<0$$ при всех $$x>0,$$ значит, функция убывает на $$\left(0,+\infty\right).$$

Ответ

1) а) $$45^\circ$$; б) $$120^\circ$$; в) $$0^\circ$$; г) $$180^\circ-\arctan\frac45$$; д) $$60^\circ$$; е) $$0^\circ$$.
2) а) убывает; б) возрастает; в) возрастает на $$\left(0,+\infty\right)$$; г) убывает на $$\left(0,+\infty\right).$$