Упр.15.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите тангенс угла между касательной к графику заданной функции в точке $$x_0$$ и осью абсцисс: а) $$y=2e^{-x}+1,\ x_0=0$$; б) $$y=e^{5x-6}+x,\ x_0=1{,}2$$; в) $$y=x\cdot 3^x,\ x_0=0$$; г) $$y=e^x-x^3,\ x_0=1$$; д) $$y=e^{5-x}+e,\ x_0=5$$; е) $$y=\frac{x-1}{6^{2x}},\ x_0=1$$.
- Докажите, что функция: а) $$y=-4x^3-2x+7$$ убывает на $$(-?; +?)$$; б) $$y=x^3-x^2+5x-1$$ возрастает на $$(-?; +?)$$; в) $$y=-x^5-2x^3-3x+6$$ убывает на $$(-?; +?)$$; г) $$y=2x^3-7x+11$$ убывает на $$(-?; +?)$$; д) $$y=2x^3+2x^2+3x+7$$ возрастает на $$(-?; +?)$$; е) $$y=2x^5-x^3+4x-3$$ возрастает на $$(-?; +?)$$.
Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке $$x_0$$: $$k=\tan \alpha = y'(x_0).$$
а) $$y=2e^{-x}+1$$
$$y'(x)=-2e^{-x}$$
$$y'(0)=-2e^0=-2$$
б) $$y=e^{5x-6}+x$$
$$y'(x)=5e^{5x-6}+1$$
$$y'(1{,}2)=5e^0+1=6$$
в) $$y=x\cdot 3^x$$
$$y'(x)=3^x+x\cdot 3^x\ln 3$$
$$y'(0)=1+0=1$$
г) $$y=e^x-x^3$$
$$y'(x)=e^x-3x^2$$
$$y'(1)=e-3$$
д) $$y=e^{5-x}+e$$
$$y'(x)=-e^{5-x}$$
$$y'(5)=-e^0=-1$$
е) $$y=\dfrac{x-1}{6^{2x}}$$
$$y'(x)=\dfrac{1\cdot 6^{2x}-(x-1)\cdot 6^{2x}\cdot 2\ln 6}{(6^{2x})^2}$$
$$y'(1)=\dfrac{6^2}{6^4}=\dfrac{1}{36}$$
Чтобы доказать возрастание или убывание функции на всей числовой прямой, достаточно показать знак производной.
а) $$y=-4x^3-2x+7$$
$$y'(x)=-12x^2-2<0$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$
б) $$y=x^3-x^2+5x-1$$
$$y'(x)=3x^2-2x+5$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 5=4-60=-56<0$$
Так как старший коэффициент положителен и дискриминант отрицателен, то $$y'(x)>0$$ при всех $$x.$$ Значит, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
в) $$y=-x^5-2x^3-3x+6$$
$$y'(x)=-5x^4-6x^2-3<0$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$
г) $$y=2x^3-7x+11$$
$$y'(x)=6x^2-7$$
Производная не сохраняет один знак на всей числовой прямой, поэтому функция не является монотонной на $$(-\infty;+\infty).$$
д) $$y=2x^3+2x^2+3x+7$$
$$y'(x)=6x^2+4x+3$$
$$D=4^2-4\cdot 6\cdot 3=16-72=-56<0$$
Так как старший коэффициент положителен и дискриминант отрицателен, то $$y'(x)>0$$ при всех $$x.$$ Значит, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
е) $$y=2x^5-x^3+4x-3$$
$$y'(x)=10x^4-3x^2+4$$
Рассмотрим как квадратное относительно $$x^2$$:
$$D=(-3)^2-4\cdot 10\cdot 4=9-160=-151<0$$
Следовательно, $$y'(x)>0$$ при всех $$x,$$ и функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
Ответ
1) а) $$-2$$; б) $$6$$; в) $$1$$; г) $$e-3$$; д) $$-1$$; е) $$\dfrac{1}{36}$$.
2) а) убывает на $$(-\infty;+\infty)$$; б) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; в) убывает на $$(-\infty;+\infty)$$; г) не является монотонной на $$(-\infty;+\infty)$$; д) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; е) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.
