Упр.15.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=0,4e^(0,5x)+3, x_0=-2; г) y=20e^(0,1x)-x, x_0=-10;
б) y=0,5^(2x+1), x_0=-0,5; д) y=(2/3)^(3x), x_0=-1/3;
в) y=e^(2x)/(x-2), x_0=0; е) y=(3x+4)/e^((x-1)/3), x_0=1. Докажите, что данная функция убывает:
а) y=cos(x)-3x; в) y=sin(2x)-4x;
б) y=(1/2)^x+log_0,5(x); г) y=(1/3)^x+log_0,3(x).

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x_0$$.

   а) $$y=0{,}4e^{0{,}5x}+3,\quad x_0=-2$$

   $$y'(x)=0{,}4\cdot 0{,}5e^{0{,}5x}=0{,}2e^{0{,}5x}$$
   $$y'(-2)=0{,}2e^{-1}=\frac{1}{5e}$$

   б) $$y=0{,}5^{\,2x+1},\quad x_0=-0{,}5$$

   $$y'(x)=0{,}5^{\,2x+1}\ln 0{,}5\cdot 2$$
   $$y'(-0{,}5)=0{,}5^0\cdot 2\ln 0{,}5=2\ln 0{,}5$$

   в) $$y=\frac{e^{2x}}{x-2},\quad x_0=0$$

   $$y'(x)=\frac{2e^{2x}(x-2)-e^{2x}}{(x-2)^2}$$
   $$y'(0)=\frac{2\cdot 1\cdot(-2)-1}{(-2)^2}=-\frac{5}{4}$$

   г) $$y=20e^{0{,}1x}-x,\quad x_0=-10$$

   $$y'(x)=20\cdot 0{,}1e^{0{,}1x}-1=2e^{0{,}1x}-1$$
   $$y'(-10)=2e^{-1}-1=\frac{2}{e}-1$$

   д) $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^{3x},\quad x_0=-\frac{1}{3}$$

   $$y'(x)=3\left(\frac{2}{3}\right)^{3x}\ln\frac{2}{3}$$
   $$y’\!\left(-\frac{1}{3}\right)=3\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\ln\frac{2}{3}=\frac{9}{2}\ln\frac{2}{3}$$

   е) $$y=\frac{3x+4}{e^{\frac{x-1}{3}}},\quad x_0=1$$

   $$y=(3x+4)e^{-\frac{x-1}{3}}$$
   $$y'(x)=3e^{-\frac{x-1}{3}}-\frac{1}{3}(3x+4)e^{-\frac{x-1}{3}}$$
   $$y'(1)=3-\frac{1}{3}\cdot 7=\frac{2}{3}$$

2. Докажем, что функция убывает, показав, что её производная отрицательна на области определения.

   а) $$y=\cos x-3x$$

   $$y'(x)=-\sin x-3$$
   Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то $$-\sin x-3\le -2<0$$. Значит, функция убывает.

   б) $$y=\left(\frac12\right)^x+\log_{0{,}5}x,\quad x>0$$

   $$y'(x)=\left(\frac12\right)^x\ln\frac12+\frac{1}{x\ln 0{,}5}$$
   Здесь $$\ln\frac12<0$$ и $$\ln 0{,}5<0$$, поэтому оба слагаемых отрицательны при $$x>0$$.
   Следовательно, $$y'(x)<0$$, и функция убывает.

   в) $$y=\sin 2x-4x$$

   $$y'(x)=2\cos 2x-4$$
   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1$$, то $$2\cos 2x-4\le -2<0$$.
   Значит, функция убывает.

   г) $$y=\left(\frac13\right)^x+\log_{0{,}3}x,\quad x>0$$

   $$y'(x)=\left(\frac13\right)^x\ln\frac13+\frac{1}{x\ln 0{,}3}$$
   Здесь $$\ln\frac13<0$$ и $$\ln 0{,}3<0$$, поэтому $$y'(x)<0$$ при $$x>0$$.
   Следовательно, функция убывает.

Ответ

1) а) $$\frac{1}{5e}$$; б) $$2\ln 0{,}5$$; в) $$-\frac54$$; г) $$\frac{2}{e}-1$$; д) $$\frac{9}{2}\ln\frac23$$; е) $$\frac23$$.
2) все данные функции убывают.