Упр.15.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=e^x(x^2-1), x_0=-1; г) y=e^(2x)(3-5x), x_0=0;
б) y=vx/e^(4x), x_0=1; д) y=e^(3x-1)/x^(1/3), x_0=1;
в) y=2^x·sin(2x), x_0=0; е) y=3^(-x)·tg(x), x_0=0. Докажите, что данная функция возрастает:
а) y=cos(2x)+4x; в) y=cos(3x)+5x;
б) y=2^x+x^(1/3); г) y=3^x+2(x^(1/3)).

Подробный ответ

Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.
а) $$y=e^x(x^2-1), \quad x_0=-1$$
$$y'(x)=e^x(x^2-1)+e^x\cdot 2x$$
$$y'(-1)=e^{-1}(1-1)+e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e}$$
б) $$y=\frac{\sqrt{x}}{e^{4x}}, \quad x_0=1$$
$$y=x^{\frac12}e^{-4x}$$
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-4x}-4\sqrt{x}\,e^{-4x}$$
$$y'(1)=\frac{1}{2e^4}-\frac{4}{e^4}=-\frac{7}{2e^4}$$
в) $$y=2^x\sin 2x, \quad x_0=0$$
$$y'(x)=2^x\ln 2\cdot \sin 2x+2^x\cdot 2\cos 2x$$
$$y'(0)=1\cdot \ln 2\cdot 0+1\cdot 2\cdot 1=2$$
г) $$y=e^{2x}(3-5x), \quad x_0=0$$
$$y'(x)=2e^{2x}(3-5x)+e^{2x}(-5)$$
$$y'(0)=2\cdot 1\cdot 3+1\cdot(-5)=1$$
д) $$y=\frac{e^{3x-1}}{\sqrt[3]{x}}, \quad x_0=1$$
$$y=e^{3x-1}x^{-\frac13}$$
$$y'(x)=3e^{3x-1}x^{-\frac13}-\frac13 e^{3x-1}x^{-\frac43}$$
$$y'(1)=3e^2-\frac13 e^2=\frac{8}{3}e^2$$
е) $$y=3^{-x}\tg x, \quad x_0=0$$
$$y'(x)=3^{-x}(-\ln 3)\tg x+3^{-x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$y'(0)=1\cdot(-\ln 3)\cdot 0+1\cdot 1=1$$
Докажем, что функция возрастает, если её производная положительна при всех допустимых $x$.
а) $$y=\cos 2x+4x$$
$$y'(x)=-2\sin 2x+4$$
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$y'(x)\ge -2\cdot 1+4=2>0.$$
Следовательно, функция возрастает.
б) $$y=2^x+\sqrt[3]{x}$$
$$y'(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{3}x^{-\frac23}$$
Оба слагаемых положительны при всех допустимых $x$, значит $$y'(x)>0.$$ Следовательно, функция возрастает.
в) $$y=\cos 3x+5x$$
$$y'(x)=-3\sin 3x+5$$
Так как $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ то
$$y'(x)\ge -3\cdot 1+5=2>0.$$
Следовательно, функция возрастает.
г) $$y=3^x+2\sqrt[3]{x}$$
$$y'(x)=3^x\ln 3+\frac{2}{3}x^{-\frac23}$$
Оба слагаемых положительны при всех допустимых $x$, значит $$y'(x)>0.$$ Следовательно, функция возрастает.