Упр.14.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=(4x+7)^5; г) y=(3-5x)^10;
б) y=(x/7+9)^7; д) y=(2-x/3)^15;
в) y=1/(1-4x)^4; е) y=4/(2x-5)^6. Найдите скорость изменения функции в точке x_0:
а) y=e^x(x^2-1), x_0=-1; г) y=e^(2x)(3-5x), x_0=0;
б) y=vx/e^(4x), x_0=1; д) y=e^(3x-1)/x^(1/3), x_0=1;
в) y=2^x·sin(2x), x_0=0; е) y=3^(-x)·tg(x), x_0=0.

1. Найдём производные функций:

   а) $$y=(4x+7)^5$$
   $$y’=5(4x+7)^4\cdot 4=20(4x+7)^4$$

   б) $$y=\left(\frac{x}{7}+9\right)^7$$
   $$y’=7\left(\frac{x}{7}+9\right)^6\cdot \frac{1}{7}=\left(\frac{x}{7}+9\right)^6$$

   в) $$y=\frac{1}{(1-4x)^4}=(1-4x)^{-4}$$
   $$y’=-4(1-4x)^{-5}\cdot(-4)=\frac{16}{(1-4x)^5}$$

   г) $$y=(3-5x)^{10}$$
   $$y’=10(3-5x)^9\cdot(-5)=-50(3-5x)^9$$

   д) $$y=\left(2-\frac{x}{3}\right)^{15}$$
   $$y’=15\left(2-\frac{x}{3}\right)^{14}\cdot\left(-\frac13\right)=-5\left(2-\frac{x}{3}\right)^{14}$$

   е) $$y=\frac{4}{(2x-5)^6}=4(2x-5)^{-6}$$
   $$y’=4\cdot(-6)(2x-5)^{-7}\cdot 2=-\frac{48}{(2x-5)^7}$$

2. Найдём скорость изменения функции в точке $$x_0$$, то есть значение производной в этой точке.

   а) $$y=e^x(x^2-1), \quad x_0=-1$$
   $$ y’=e^x(x^2-1)+e^x\cdot 2x $$
   $$ y'(-1)=e^{-1}(1-1)+e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e} $$

   б) $$y=\frac{\sqrt{x}}{e^{4x}}, \quad x_0=1$$
   $$ y’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{4x}-\sqrt{x}\cdot 4e^{4x}}{e^{8x}} $$
   $$ y'(1)=\frac{\frac12 e^4-4e^4}{e^8}=-\frac{7}{2e^4} $$

   в) $$y=2^x\sin 2x, \quad x_0=0$$
   $$ y’=2^x\ln 2\cdot \sin 2x+2^x\cdot 2\cos 2x $$
   $$ y'(0)=1\cdot \ln 2\cdot 0+1\cdot 2\cdot 1=2 $$

   г) $$y=e^{2x}(3-5x), \quad x_0=0$$
   $$ y’=2e^{2x}(3-5x)+e^{2x}\cdot(-5) $$
   $$ y'(0)=2\cdot 1\cdot 3+1\cdot(-5)=1 $$

   д) $$y=\frac{e^{3x-1}}{\sqrt[3]{x}}, \quad x_0=1$$
   $$ y’=\frac{3e^{3x-1}\sqrt[3]{x}-e^{3x-1}\cdot \frac13 x^{-2/3}}{(\sqrt[3]{x})^2} $$
   $$ y'(1)=\frac{3e^2\cdot 1-e^2\cdot \frac13\cdot 1}{1}=\frac{8}{3}e^2 $$

   е) $$y=3^{-x}\tg x, \quad x_0=0$$
   $$ y’=3^{-x}(-\ln 3)\tg x+3^{-x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x} $$
   $$ y'(0)=1\cdot(-\ln 3)\cdot 0+1\cdot 1=1 $$

Ответ

1) а) $$20(4x+7)^4$$; б) $$\left(\frac{x}{7}+9\right)^6$$; в) $$\frac{16}{(1-4x)^5}$$; г) $$-50(3-5x)^9$$; д) $$-5\left(2-\frac{x}{3}\right)^{14}$$; е) $$-\frac{48}{(2x-5)^7}$$.
2) а) $$-\frac{2}{e}$$; б) $$-\frac{7}{2e^4}$$; в) $$2$$; г) $$1$$; д) $$\frac{8}{3}e^2$$; е) $$1$$.