Упр.14.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=(x^2+x)(x^3-2); г) y=(x^3+3x^2)(2x^2-1);
б) y=(x^5+x^3)v(x-1); д) y=v(x+2)(x^4-2x^2);
в) y=(x^4-2x^2)/(4x-5); е) y=(x^2-3x)/(2x^3+1). Найдите значение производной в точке x_0:
а) y=e^x+x^3, x_0=0; г) y=e^x-x^4, x_0=1;
б) y=e^(2x+3)-5, x_0=-1; д) y=e^(9-3x)+x, x_0=3;
в) y=e^xvx, x_0=1; е) y=e^x x^(1/3), x_0=1.

1. а) $$y=(x^2+x)(x^3-2)$$

   По правилу производной произведения:

   $$y’=(2x+1)(x^3-2)+(x^2+x)\cdot 3x^2$$

   $$y’=2x^4-4x+x^3-2+3x^4+3x^3$$

   $$y’=5x^4+4x^3-4x-2$$

2. б) $$y=(x^5+x^3)\sqrt{x-1}$$

   $$y’=(5x^4+3x^2)\sqrt{x-1}+\frac{x^5+x^3}{2\sqrt{x-1}}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y’=\frac{(5x^4+3x^2)(2x-2)+x^5+x^3}{2\sqrt{x-1}}$$

   $$y’=\frac{10x^5-10x^4+6x^3-6x^2+x^5+x^3}{2\sqrt{x-1}}$$

   $$y’=\frac{11x^5-10x^4+7x^3-6x^2}{2\sqrt{x-1}}$$

3. в) $$y=\frac{x^4-2x^2}{4x-5}$$

   По правилу производной частного:

   $$y’=\frac{(4x^3-4x)(4x-5)-(x^4-2x^2)\cdot 4}{(4x-5)^2}$$

   $$y’=\frac{16x^4-20x^3-16x^2+20x-4x^4+8x^2}{(4x-5)^2}$$

   $$y’=\frac{12x^4-20x^3-8x^2+20x}{(4x-5)^2}$$

4. г) $$y=(x^3+3x^2)(2x^2-1)$$

   $$y’=(3x^2+6x)(2x^2-1)+(x^3+3x^2)\cdot 4x$$

   $$y’=6x^4-3x^2+12x^3-6x+4x^4+12x^3$$

   $$y’=10x^4+24x^3-3x^2-6x$$

5. д) $$y=\sqrt{x+2}\,(x^4-2x^2)$$

   $$y’=\frac{x^4-2x^2}{2\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}\,(4x^3-4x)$$

   $$y’=\frac{x^4-2x^2+(x+2)(8x^3-8x)}{2\sqrt{x+2}}$$

   $$y’=\frac{9x^4+16x^3-10x^2-16x}{2\sqrt{x+2}}$$

6. е) $$y=\frac{x^2-3x}{2x^3+1}$$

   $$y’=\frac{(2x-3)(2x^3+1)-(x^2-3x)\cdot 6x^2}{(2x^3+1)^2}$$

   $$y’=\frac{4x^4+2x-6x^3-3-6x^4+18x^3}{(2x^3+1)^2}$$

   $$y’=\frac{-2x^4+12x^3+2x-3}{(2x^3+1)^2}$$

Ход решения

1. а) $$y=e^x+x^3,\quad x_0=0$$

   $$y’=e^x+3x^2$$

   $$y'(0)=e^0+3\cdot 0^2=1$$

2. б) $$y=e^{2x+3}-5,\quad x_0=-1$$

   $$y’=2e^{2x+3}$$

   $$y'(-1)=2e^{-2+3}=2e$$

3. в) $$y=e^x\sqrt{x},\quad x_0=1$$

   $$y’=e^x\sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$$

   $$y'(1)=e+\frac{e}{2}=\frac{3e}{2}$$

4. г) $$y=e^x-x^4,\quad x_0=1$$

   $$y’=e^x-4x^3$$

   $$y'(1)=e-4$$

5. д) $$y=e^{9-3x}+x,\quad x_0=3$$

   $$y’=-3e^{9-3x}+1$$

   $$y'(3)=-3e^0+1=-2$$

6. е) $$y=e^x\sqrt[3]{x},\quad x_0=1$$

   $$y’=e^x\sqrt[3]{x}+\frac{1}{3}e^x x^{-2/3}$$

   $$y'(1)=e+\frac{e}{3}=\frac{4e}{3}$$

Ответ

1) а) $$y’=5x^4+4x^3-4x-2$$; б) $$y’=\frac{11x^5-10x^4+7x^3-6x^2}{2\sqrt{x-1}}$$; в) $$y’=\frac{12x^4-20x^3-8x^2+20x}{(4x-5)^2}$$; г) $$y’=10x^4+24x^3-3x^2-6x$$; д) $$y’=\frac{9x^4+16x^3-10x^2-16x}{2\sqrt{x+2}}$$; е) $$y’=\frac{-2x^4+12x^3+2x-3}{(2x^3+1)^2}$$.

2) а) $$1$$; б) $$2e$$; в) $$\frac{3e}{2}$$; г) $$e-4$$; д) $$-2$$; е) $$\frac{4e}{3}$$.