Упр.14.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите производную данной функции:
а) $$y=\frac{1}{x^{1/3}}$$;
б) $$y=-\frac{2}{\sqrt{x}}$$;
в) $$y=-\frac{4}{x^{1/4}}$$;
г) $$y=\frac{3}{x^{1/6}}$$;
д) $$y=\frac{3}{(x^2)^{1/3}}$$;
е) $$y=\frac{1}{(x^3)^{1/5}}$$. - Задание учебника 2022 года. Найдите производную данной функции:
а) $$y=3^{2x-1}+x^4$$;
б) $$y=-2x\cdot10^{2x}$$;
в) $$y=\frac{0{,}8^x}{4x-3}$$;
г) $$y=0{,}5^{3x+2}-x^3$$;
д) $$y=3x\cdot0{,}1^{-3x}$$;
е) $$y=\frac{3-5x}{1{,}2^x}$$.
Используем правило: $$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}$$, а также представим корни в виде степеней.
а) $$y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac13}$$
$$y’=-\frac13x^{-\frac43}=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$$б) $$y=-\frac{2}{\sqrt{x}}=-2x^{-\frac12}$$
$$y’=-2\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=x^{-\frac32}=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$$в) $$y=-\frac{4}{\sqrt[4]{x}}=-4x^{-\frac14}$$
$$y’=-4\cdot\left(-\frac14\right)x^{-\frac54}=x^{-\frac54}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}$$г) $$y=\frac{3}{\sqrt[6]{x}}=3x^{-\frac16}$$
$$y’=3\cdot\left(-\frac16\right)x^{-\frac76}=-\frac{1}{2\sqrt[6]{x^7}}$$д) $$y=\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}=3x^{-\frac23}$$
$$y’=3\cdot\left(-\frac23\right)x^{-\frac53}=-\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}$$е) $$y=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}=x^{-\frac35}$$
$$y’=-\frac35x^{-\frac85}=-\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}}$$Для показательной функции используем правило: $$\left(a^{u(x)}\right)’=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)$$, а для произведения — правило произведения.
а) $$y=3^{2x-1}+x^4$$
$$y’=3^{2x-1}\ln 3\cdot 2+4x^3=2\cdot 3^{2x-1}\ln 3+4x^3$$б) $$y=-2x\cdot 10^{2x}$$
$$y’=-2\cdot 10^{2x}-2x\cdot 10^{2x}\ln 10\cdot 2$$
$$y’=-2\cdot 10^{2x}\left(1+2x\ln 10\right)$$в) $$y=\frac{0,8^x}{4x-3}$$
$$y’=\frac{0,8^x\ln 0,8\,(4x-3)-0,8^x\cdot 4}{(4x-3)^2}$$
$$y’=\frac{0,8^x\left(\ln 0,8\,(4x-3)-4\right)}{(4x-3)^2}$$г) $$y=0,5^{3x+2}-x^3$$
$$y’=0,5^{3x+2}\ln 0,5\cdot 3-3x^2$$
$$y’=3\cdot 0,5^{3x+2}\ln 0,5-3x^2$$д) $$y=3x\cdot 0,1^{-3x}$$
$$y’=3\cdot 0,1^{-3x}+3x\cdot 0,1^{-3x}\ln 0,1\cdot(-3)$$
$$y’=3\cdot 0,1^{-3x}\left(1-3x\ln 0,1\right)$$е) $$y=\frac{3-5x}{1,2^x}=(3-5x)\cdot 1,2^{-x}$$
$$y’=-5\cdot 1,2^{-x}+(3-5x)\cdot 1,2^{-x}\ln 1,2\cdot(-1)$$
$$y’=\frac{-5-(3-5x)\ln 1,2}{1,2^x}$$
Ответ
а) $$y’=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$$; б) $$y’=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$$; в) $$y’=\frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}$$; г) $$y’=-\frac{1}{2\sqrt[6]{x^7}}$$; д) $$y’=-\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}$$; е) $$y’=-\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}}$$.
а) $$y’=2\cdot 3^{2x-1}\ln 3+4x^3$$; б) $$y’=-2\cdot 10^{2x}\left(1+2x\ln 10\right)$$; в) $$y’=\frac{0,8^x\left(\ln 0,8\,(4x-3)-4\right)}{(4x-3)^2}$$; г) $$y’=3\cdot 0,5^{3x+2}\ln 0,5-3x^2$$; д) $$y’=3\cdot 0,1^{-3x}\left(1-3x\ln 0,1\right)$$; е) $$y’=\frac{-5-(3-5x)\ln 1,2}{1,2^x}$$.
