Упр.14.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=1/x^(1/3); в) y=-4/x^(1/4); д) y=3/(x^2)^(1/3);
б) y=-2/vx; г) y=3/x^(1/6); е) y=1/(x^3)^(1/5). Найдите производную данной функции:
а) y=3^(2x-1)+x^4; г) y=0,5^(3x+2)-x^3;
б) y=-2x·10^(2x); д) y=3x·0,1^(-3x);
в) y=0,8^x/(4x-3); е) y=(3-5x)/1,2^x.

1. Используем правило: $$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}$$, а также представим корни в виде степеней.

   а) $$y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac13}$$
   $$y’=-\frac13x^{-\frac43}=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$$

   б) $$y=-\frac{2}{\sqrt{x}}=-2x^{-\frac12}$$
   $$y’=-2\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=x^{-\frac32}=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$$

   в) $$y=-\frac{4}{\sqrt[4]{x}}=-4x^{-\frac14}$$
   $$y’=-4\cdot\left(-\frac14\right)x^{-\frac54}=x^{-\frac54}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}$$

   г) $$y=\frac{3}{\sqrt[6]{x}}=3x^{-\frac16}$$
   $$y’=3\cdot\left(-\frac16\right)x^{-\frac76}=-\frac{1}{2\sqrt[6]{x^7}}$$

   д) $$y=\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}=3x^{-\frac23}$$
   $$y’=3\cdot\left(-\frac23\right)x^{-\frac53}=-\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}$$

   е) $$y=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}=x^{-\frac35}$$
   $$y’=-\frac35x^{-\frac85}=-\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}}$$

2. Для показательной функции используем правило: $$\left(a^{u(x)}\right)’=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)$$, а для произведения — правило произведения.

   а) $$y=3^{2x-1}+x^4$$
   $$y’=3^{2x-1}\ln 3\cdot 2+4x^3=2\cdot 3^{2x-1}\ln 3+4x^3$$

   б) $$y=-2x\cdot 10^{2x}$$
   $$y’=-2\cdot 10^{2x}-2x\cdot 10^{2x}\ln 10\cdot 2$$
   $$y’=-2\cdot 10^{2x}\left(1+2x\ln 10\right)$$

   в) $$y=\frac{0,8^x}{4x-3}$$
   $$y’=\frac{0,8^x\ln 0,8\,(4x-3)-0,8^x\cdot 4}{(4x-3)^2}$$
   $$y’=\frac{0,8^x\left(\ln 0,8\,(4x-3)-4\right)}{(4x-3)^2}$$

   г) $$y=0,5^{3x+2}-x^3$$
   $$y’=0,5^{3x+2}\ln 0,5\cdot 3-3x^2$$
   $$y’=3\cdot 0,5^{3x+2}\ln 0,5-3x^2$$

   д) $$y=3x\cdot 0,1^{-3x}$$
   $$y’=3\cdot 0,1^{-3x}+3x\cdot 0,1^{-3x}\ln 0,1\cdot(-3)$$
   $$y’=3\cdot 0,1^{-3x}\left(1-3x\ln 0,1\right)$$

   е) $$y=\frac{3-5x}{1,2^x}=(3-5x)\cdot 1,2^{-x}$$
   $$y’=-5\cdot 1,2^{-x}+(3-5x)\cdot 1,2^{-x}\ln 1,2\cdot(-1)$$
   $$y’=\frac{-5-(3-5x)\ln 1,2}{1,2^x}$$

Ответ

а) $$y’=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$$; б) $$y’=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$$; в) $$y’=\frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}$$; г) $$y’=-\frac{1}{2\sqrt[6]{x^7}}$$; д) $$y’=-\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}$$; е) $$y’=-\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}}$$.

а) $$y’=2\cdot 3^{2x-1}\ln 3+4x^3$$; б) $$y’=-2\cdot 10^{2x}\left(1+2x\ln 10\right)$$; в) $$y’=\frac{0,8^x\left(\ln 0,8\,(4x-3)-4\right)}{(4x-3)^2}$$; г) $$y’=3\cdot 0,5^{3x+2}\ln 0,5-3x^2$$; д) $$y’=3\cdot 0,1^{-3x}\left(1-3x\ln 0,1\right)$$; е) $$y’=\frac{-5-(3-5x)\ln 1,2}{1,2^x}$$.