Упр.14.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите производную данной функции: а) $$y=x^{\sqrt{2}}$$; в) $$y=x^{-\sqrt{5}}$$; д) $$y=(3x)^{\sqrt{3}}$$; б) $$y=x^{\sqrt{3}}$$; г) $$y=x^{-\sqrt{6}}$$; е) $$y=(2x)^{\sqrt{2}}$$.
- Задание учебника 2022 года. Найдите производную данной функции: а) $$y=e^x\cos(2x)$$; г) $$y=e^{-x}\sin(3x)$$; б) $$y=e^{1-6x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$; д) $$y=e^{5x+3}\cos\left(\frac{x}{3}\right)$$; в) $$y=e^{2{,}5x}\operatorname{tg}(-0{,}4x)$$; е) $$y=e^{2x}\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{5}\right)$$.
Используем правило дифференцирования степенной функции:
$$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}.$$
а) $$y=x^{\sqrt2}$$
$$y’=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}.$$б) $$y=x^{\sqrt3}$$
$$y’=\sqrt3\,x^{\sqrt3-1}.$$в) $$y=x^{-\sqrt5}$$
$$y’=-\sqrt5\,x^{-\sqrt5-1}.$$г) $$y=x^{-\sqrt6}$$
$$y’=-\sqrt6\,x^{-\sqrt6-1}.$$д) $$y=(3x)^{\sqrt3}$$
$$y’=\sqrt3\,(3x)^{\sqrt3-1}\cdot 3=3\sqrt3\,(3x)^{\sqrt3-1}.$$е) $$y=(2x)^{\sqrt2}$$
$$y’=\sqrt2\,(2x)^{\sqrt2-1}\cdot 2=2\sqrt2\,(2x)^{\sqrt2-1}.$$Используем правило произведения:
$$\left(uv\right)’=u’v+uv’.$$
а) $$y=e^x\cos 2x$$
$$y’=e^x\cos 2x-2e^x\sin 2x=e^x(\cos 2x-2\sin 2x).$$б) $$y=e^{1-6x}\sin \frac{x}{2}$$
$$y’=-6e^{1-6x}\sin \frac{x}{2}+\frac12 e^{1-6x}\cos \frac{x}{2}$$
$$y’=e^{1-6x}\left(\frac12\cos \frac{x}{2}-6\sin \frac{x}{2}\right).$$в) $$y=e^{2,5x}\tg(-0,4x)$$
$$y’=2,5e^{2,5x}\tg(-0,4x)-0,4e^{2,5x}\frac{1}{\cos^2(-0,4x)}$$
$$y’=-e^{2,5x}\left(2,5\tg 0,4x+\frac{0,4}{\cos^2 0,4x}\right).$$г) $$y=e^{-x}\sin 3x$$
$$y’=-e^{-x}\sin 3x+3e^{-x}\cos 3x$$
$$y’=e^{-x}(3\cos 3x-\sin 3x).$$д) $$y=e^{5x+3}\cos \frac{x}{3}$$
$$y’=5e^{5x+3}\cos \frac{x}{3}-\frac13 e^{5x+3}\sin \frac{x}{3}$$
$$y’=e^{5x+3}\left(5\cos \frac{x}{3}-\frac13\sin \frac{x}{3}\right).$$е) $$y=e^{2x}\ctg \frac{x}{5}$$
$$y’=2e^{2x}\ctg \frac{x}{5}-\frac{e^{2x}}{5\sin^2 \frac{x}{5}}$$
$$y’=e^{2x}\left(2\ctg \frac{x}{5}-\frac{1}{5\sin^2 \frac{x}{5}}\right).$$
Ответ
а) $$y’=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}$$
б) $$y’=\sqrt3\,x^{\sqrt3-1}$$
в) $$y’=-\sqrt5\,x^{-\sqrt5-1}$$
г) $$y’=-\sqrt6\,x^{-\sqrt6-1}$$
д) $$y’=3\sqrt3\,(3x)^{\sqrt3-1}$$
е) $$y’=2\sqrt2\,(2x)^{\sqrt2-1}$$
а) $$y’=e^x(\cos 2x-2\sin 2x)$$
б) $$y’=e^{1-6x}\left(\frac12\cos \frac{x}{2}-6\sin \frac{x}{2}\right)$$
в) $$y’=-e^{2,5x}\left(2,5\tg 0,4x+\frac{0,4}{\cos^2 0,4x}\right)$$
г) $$y’=e^{-x}(3\cos 3x-\sin 3x)$$
д) $$y’=e^{5x+3}\left(5\cos \frac{x}{3}-\frac13\sin \frac{x}{3}\right)$$
е) $$y’=e^{2x}\left(2\ctg \frac{x}{5}-\frac{1}{5\sin^2 \frac{x}{5}}\right)$$
