Упр.14.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=3\sin 2x$$

   Это график функции $$y=\sin x$$, растянутый по оси $$Oy$$ в 3 раза и сжатый по оси $$Ox$$ в 2 раза.

   Амплитуда равна $$3$$, период равен $$\pi$$.

2. б) $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$$

   График $$y=\tg x$$ сдвигается вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вверх на $$1$$.

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в) $$y=\left|\cos x-\frac12\right|$$

   Сначала строится график $$y=\cos x-\frac12$$, затем его отрицательные части отражаются вверх относительно оси $$Ox$$.

4. г) $$y=-2\cos\frac{x}{2}$$

   График $$y=\cos x$$ растягивается по оси $$Ox$$ в 2 раза, затем отражается относительно оси $$Ox$$ и растягивается по оси $$Oy$$ в 2 раза.

   Амплитуда равна $$2$$, период равен $$4\pi$$.

5. д) $$y=\ctg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-2$$

   График $$y=\ctg x$$ сдвигается влево на $$\frac{2\pi}{3}$$ и вниз на $$2$$.

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=-\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

6. е) $$y=\left|\sin x+\frac12\right|$$

   Сначала строится график $$y=\sin x+\frac12$$, затем его отрицательные части отражаются вверх относительно оси $$Ox$$.

Теперь найдём, при каких значениях параметра $$p$$ уравнения имеют решения.

а) $$\frac12\sin x\cos x=\frac{3p-2}{5}$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac12\sin x\cos x=\frac14\cdot 2\sin x\cos x=\frac14\sin 2x.$$

Тогда

$$\sin 2x=\frac{12p-8}{5}.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно:

$$-1\le \frac{12p-8}{5}\le 1.$$

Решаем неравенство:

$$-5\le 12p-8\le 5$$

$$3\le 12p\le 13$$

$$\frac14\le p\le \frac{13}{12}.$$

б) $$\cos^2\frac{x}{2}=p^2-8$$

Так как $$0\le \cos^2\frac{x}{2}\le 1$$, то должно выполняться:

$$0\le p^2-8\le 1.$$

Отсюда

$$8\le p^2\le 9.$$

Значит,

$$2\sqrt2\le |p|\le 3,$$

то есть

$$p\in[-3;-2\sqrt2]\cup[2\sqrt2;3].$$

Ответ

а) $$\frac14\le p\le \frac{13}{12}$$; б) $$p\in[-3;-2\sqrt2]\cup[2\sqrt2;3]$$.