Упр.14.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Найдите наибольшее значение функции y = v(16 + 6x — x^2). При каких значениях k прямая y=kx не имеет общих точек с графиком функции y=(2-|x|)/(x^2-2|x|)?

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{x^2-8x+20}$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$x^2-8x+20=(x-4)^2+4.$$

Так как $$ (x-4)^2 \ge 0, $$ то

$$x^2-8x+20 \ge 4.$$

Следовательно, наименьшее значение функции:

$$y_{\min}=\sqrt{4}=2.$$

б) $$y=\sqrt{16+6x-x^2}$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$16+6x-x^2=25-(x-3)^2.$$

Так как $$ (x-3)^2 \ge 0, $$ то

$$16+6x-x^2 \le 25.$$

Следовательно, наибольшее значение функции:

$$y_{\max}=\sqrt{25}=5.$$

в) Рассмотрим функцию

$$y=\frac{2-|x|}{x^2-2|x|}.$$

Преобразуем знаменатель:

$$x^2-2|x|=|x|^2-2|x|=|x|(|x|-2).$$

Тогда

$$y=\frac{2-|x|}{|x|(|x|-2)}=-\frac{1}{|x|},$$

при $$x\ne 0,\ x\ne \pm 2.$$

Значит, график этой функции состоит из двух ветвей и принимает только отрицательные значения, причём

$$y\in \left(-\infty,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12,0\right).$$

Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат. Чтобы не иметь общих точек с графиком функции, она не должна пересекать его ни при каких $$x.$$

При $$k=0$$ получаем ось $$Ox,$$ а функция $$y=-\frac1{|x|}$$ не принимает значение $$0,$$ значит, общих точек нет.

Кроме того, при $$k=\pm \frac14$$ прямая касается/пересекает график в точках, соответствующих предельным значениям ветвей, поэтому эти значения не подходят.

Итак, прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком функции при

$$k=0,\ \pm \frac14.$$