Упр.14.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
а) Найдите наименьшее значение функции $$y=\sqrt{x^2-8x+20}$$.
б) Найдите наибольшее значение функции $$y=\sqrt{16+6x-x^2}$$. - Задание учебника 2022 года.
При каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком функции $$y=\frac{2-|x|}{x^2-2|x|}$$?
а) $$y=\sqrt{x^2-8x+20}$$
Преобразуем выражение под корнем:
$$x^2-8x+20=(x-4)^2+4.$$
Так как $$(x-4)^2 \ge 0,$$ то
$$x^2-8x+20 \ge 4.$$
Следовательно, наименьшее значение функции:
$$y_{\min}=\sqrt{4}=2.$$
б) $$y=\sqrt{16+6x-x^2}$$
Преобразуем выражение под корнем:
$$16+6x-x^2=25-(x-3)^2.$$
Так как $$(x-3)^2 \ge 0,$$ то
$$16+6x-x^2 \le 25.$$
Следовательно, наибольшее значение функции:
$$y_{\max}=\sqrt{25}=5.$$
в) Рассмотрим функцию
$$y=\frac{2-|x|}{x^2-2|x|}.$$
Преобразуем знаменатель:
$$x^2-2|x|=|x|^2-2|x|=|x|(|x|-2).$$
Тогда
$$y=\frac{2-|x|}{|x|(|x|-2)}=-\frac{1}{|x|},$$
при $$x\ne 0,\ x\ne \pm 2.$$
Значит, график этой функции состоит из двух ветвей и принимает только отрицательные значения, причём
$$y\in \left(-\infty,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12,0\right).$$
Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат. Чтобы не иметь общих точек с графиком функции, она не должна пересекать его ни при каких $$x.$$
При $$k=0$$ получаем ось $$Ox,$$ а функция $$y=-\frac1{|x|}$$ не принимает значение $$0,$$ значит, общих точек нет.
Кроме того, при $$k=\pm \frac14$$ прямая касается/пересекает график в точках, соответствующих предельным значениям ветвей, поэтому эти значения не подходят.
Итак, прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком функции при
$$k=0,\ \pm \frac14.$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$5$$; в) $$k=0,\ \pm \frac14.$$
