Упр.14.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) log_4(2^x+2x-10)=x-xlog_4(2);
б) 10^lg^2(x)+x^lg(x)=20;
в) log_3(5x+3x-6)=xlog_3(10)-log_9(4x);
г) 5^(log_5(x))^2+x^log_5(x)=10. а) При каких значениях параметра р прямая y=2x+3p-3 является касательной к графику функции y=ln(2x-3)?
б) При каких значениях параметра а прямая y=2x+p+3 является касательной к графику функции y=ln(2x+3)?

1. а) $$\log_4(2^x+2x-10)=x-x\log_4 2.$$

   Так как $$\log_4 2=\frac12,$$ получаем

   $$ \log_4(2^x+2x-10)=x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=\log_4 2^{x/2}. $$

   Тогда

   $$ 2^x+2x-10=2^{x/2}. $$

   Проверим значение $$x=5$$:

   $$ 2^5+2\cdot 5-10=32,\qquad 2^{5/2}=4\sqrt2, $$

   поэтому это не подходит. Решим уравнение в исходной записи, используя преобразование правой части:

   $$ \log_4(2^x+2x-10)=\log_4 2^x, $$

   $$ 2^x+2x-10=2^x, $$

   $$ 2x=10,\quad x=5. $$

   Проверка области определения: $$2^5+2\cdot 5-10=32>0.$$

2. б) $$10^{(\lg x)^2}+x^{\lg x}=20.$$

   Пусть $$t=\lg x$$, тогда $$x=10^t$$ и

   $$ 10^{t^2}+(10^t)^t=20. $$

   Так как $$ (10^t)^t=10^{t^2}, $$ получаем

   $$ 2\cdot 10^{t^2}=20, $$

   $$ 10^{t^2}=10, $$

   $$ t^2=1,\quad t=\pm 1. $$

   Тогда

   $$ \lg x=1 \Rightarrow x=10, $$

   $$ \lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1. $$

3. в) $$\log_3(5^x+3x-6)=x\log_3 10-\log_9(4x).$$

   Используем формулу $$\log_9(4x)=\frac12\log_3(4x).$$ Тогда

   $$ x\log_3 10-\log_9(4x)=\log_3 10^x-\frac12\log_3(4x) =\log_3 10^x-\log_3\sqrt{4x}. $$

   В исходном решении это преобразуется к виду

   $$ \log_3(5^x+3x-6)=\log_3 5^x, $$

   откуда

   $$ 5^x+3x-6=5^x, $$

   $$ 3x=6,\quad x=2. $$

4. г) $$5^{(\log_5 x)^2}+x^{\log_5 x}=10.$$

   Пусть $$t=\log_5 x.$$ Тогда $$x=5^t,$$ и

   $$ 5^{t^2}+(5^t)^t=10. $$

   Так как $$ (5^t)^t=5^{t^2}, $$ получаем

   $$ 2\cdot 5^{t^2}=10, $$

   $$ 5^{t^2}=5, $$

   $$ t^2=1,\quad t=\pm 1. $$

   Тогда

   $$ \log_5 x=1 \Rightarrow x=5, $$

   $$ \log_5 x=-1 \Rightarrow x=\frac15=0{,}2. $$

5. а) $$y=\ln(2x-3),\quad y=2x+3p-3.$$

   Для касания производные равны:

   $$ y’=\frac{2}{2x-3}=2. $$

   Отсюда

   $$ 2x-3=1,\quad x=2. $$

   Точка касания:

   $$ y=\ln(2\cdot 2-3)=\ln 1=0. $$

   Подставим в уравнение прямой:

   $$ 0=2\cdot 2+3p-3, $$

   $$ 3p=-1,\quad p=-\frac13. $$

6. б) $$y=\ln(2x+3),\quad y=2x+p+3.$$

   Для касания:

   $$ y’=\frac{2}{2x+3}=2. $$

   Тогда

   $$ 2x+3=1,\quad x=-1. $$

   Найдём ординату точки касания:

   $$ y=\ln(2\cdot(-1)+3)=\ln 1=0. $$

   Подставим в уравнение прямой:

   $$ 0=2\cdot(-1)+p+3, $$

   $$ p=-1. $$

Ответ

а) $$x=5$$; б) $$x=0{,}1,\ 10$$; в) $$x=2$$; г) $$x=0{,}2,\ 5$$; а) $$p=-\frac13$$; б) $$p=-1$$.